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> Prueba de Seleccion 2007
GlagosSA
mensaje Aug 13 2007, 07:15 PM
Publicado: #1


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TEX: \noindent \textbf{Problema 1} \textit{Sea $p$ un primo mayor que $2$. Determine todos los pares $m,n$ de enteros positivos que satisfacen la ecuacion} $$(p-1)(p^n-1)=4m(m+1)$$\\<br />\textbf{Problema 2}\textit{Sean $x\le y\le z$ numeros reales tales que $xy+yz+zx=1$\\<br />a)\ \ \ Pruebe que $xz\le \dfrac{1}{2}$\\<br />b)\ \ \ Es posible mejorar la constante $\dfrac{1}{2}$? Explique.}\\<br />\\<br />\textbf{Problema 3} \textit{El $\triangle ABC$ tiene lados de longitud numeros enteros positivos y $\overline{AC}=2007$. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al lado $\overline{BC}$ en el punto D y $\overline{AB}=\overline{CD}$. Determine los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ del $\triangle ABC$.}\\<br />\\<br />\textbf{Problema 4} \textit{Considere un $\triangle ABC$, E un punto en el trazo $\overline{AC}$ y F un punto en el lado  $\overline{BC}$. Asuma que $\overline{AE}$=$\overline{BF}$ y que las circunferencias que pasan por A, C, F y B, C, E respectivamente se intersectan en un punto $D\neq C$. Pruebe que CD es la bisectriz del $\angle ACB$ }\\<br />\\<br />\textbf{Problema 5} \textit{Sea g(x) una funcion definida en los enteros positivos tal que $g(n+1)>g(n)$, $g(g(n))=3n$. Calcule g(2007)}

Adios portugal...

Mensaje modificado por GlagosSA el Aug 13 2007, 07:16 PM


--------------------
Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"-
Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana.

La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas..

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Manuel71
mensaje Aug 13 2007, 07:40 PM
Publicado: #2


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Se notó el nivel, se notó...
Aquí va mi única respuesta, el N° 3:

TEX: \noindent $\overline{AB}=\overline{CD}=x$\\<br />Por teorema de la bisectriz interior:\\<br />\\<br />$\dfrac{2007}{x}=\dfrac{x}{BD}$ $\Longrightarrow x=3\sqrt{223\cdot BD}$\\<br />\\<br />Como $x$ debe ser entero, $\overline{BD}$ debe medir $223a$ con $a$ cuadrado perfecto.\\<br />\\<br />Por desigualdad triangular:\\<br />$\overline{BC}-\overline{AB}=\overline{BD}<\overline{AC}$\\<br />$223a<2007$ $\Longrightarrow a<9$\\<br />Luego $a$ s\'olo puede ser 1 \'o 4.\\<br />\\<br />$a=1$ $\Longrightarrow \overline{BD}=223$, $x=669$ $\Longrightarrow \overline{BC}+\overline{AB}<\overline{AC}$\\ No cumple la desigualdad triangular.\\<br />\\<br />$a=4$ $\Longrightarrow \overline{BD}=892$, $x=1338$ $\Longrightarrow \overline{BC}+\overline{AB}>\overline{AC}$\\ Cumple con todo lo necesario.\\<br />\\<br />$AB=1338$ y $BC=2230$
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SoLiD_UsHeR
mensaje Aug 13 2007, 08:08 PM
Publicado: #3


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Weno vamos con 1 de mis respuestas

Parte A del 2, ya que la parte B estoy en duda todavia de la veracidad de mi respuesta

Como TEX: $z \geq y \geq \ x$ entonces se desprende que:

TEX: $$ z - y \geq 0$$<br />$$ y - x \geq 0 $$

TEX: Multiplicamos estas 2 (ya que no se cambia el signo, son positivas):<br />$$ zy - y^2 - xz + xy \geq 0$$<br />$$ zy + xy \geq y^2 + xz $$
Pero
TEX: $$ y^2 + xz \geq xz$$
por transitividad
TEX: $$ zy + xy \geq xz$$<br />$$ zy + xy + xz \geq 2xz$$<br />$$\frac{1}{2} \geq xz$$

Demostrando lo pedido

mad.gif mad.gif mad.gif mad.gif mad.gif Haaa tuve a punto de terminar el problema 3... me falto el ultimo paso :@

Mensaje modificado por SoLiD_UsHeR el Aug 13 2007, 08:11 PM


--------------------
Trabajando en una nueva firma...
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GlagosSA
mensaje Aug 13 2007, 08:22 PM
Publicado: #4


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CITA(Manuel71 @ Aug 13 2007, 08:40 PM) *
Se notó el nivel, se notó...
Aquí va mi única respuesta, el N° 3:

TEX: \noindent $\overline{AB}=\overline{CD}=x$\\<br />Por teorema de la bisectriz interior:\\<br />\\<br />$\dfrac{2007}{x}=\dfrac{x}{BD}$ $\Longrightarrow x=3\sqrt{223\cdot BD}$\\<br />\\<br />Como $x$ debe ser entero, $\overline{BD}$ debe medir $223a$ con $a$ cuadrado perfecto.\\<br />\\<br />Por desigualdad triangular:\\<br />$\overline{BC}-\overline{AB}=\overline{BD}<\overline{AC}$\\<br />$223a<2007$ $\Longrightarrow a<9$\\<br />Luego $a$ s\'olo puede ser 1 \'o 4.\\<br />\\<br />$a=1$ $\Longrightarrow \overline{BD}=223$, $x=669$ $\Longrightarrow \overline{BC}+\overline{AB}<\overline{AC}$\\ No cumple la desigualdad triangular.\\<br />\\<br />$a=4$ $\Longrightarrow \overline{BD}=892$, $x=1338$ $\Longrightarrow \overline{BC}+\overline{AB}>\overline{AC}$\\ Cumple con todo lo necesario.\\<br />\\<br />$AB=1338$ y $BC=2230$



porque x debe ser entero??


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Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"-
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Manuel71
mensaje Aug 13 2007, 08:24 PM
Publicado: #5


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CITA(GlagosSA @ Aug 13 2007, 09:22 PM) *
porque x debe ser entero??


x=AB
AB debe ser entero por enunciado.
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Killua
mensaje Aug 13 2007, 08:30 PM
Publicado: #6


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Este fue el primero que me salió smile.gif

Solución al problema 4



TEX: \noindent Sean $\angle{ACD}=\alpha, \angle{BCD}=\beta, \angle{EBF}=1, \angle{FAE}=2$, nos bastar\'a probar que $\alpha=\beta$ para concluir lo pedido. Notemos que $\angle{ECD}=\angle{DBE}=\alpha$ y $\angle{DCB}=\angle{DEB}=\beta$ (circunferencia m\'as grande en la figura), y tambi\'en que $\angle{ACD}=\angle{AFD}=\alpha$ y $\angle{DCF}=\angle{DAF}=\beta$. Notemos que $\angle{AFB}=\angle{FAC}+\angle{FCA}=\alpha+\beta+2\Rightarrow\angle{DFB}=\beta+2$, y que $\angle{DBC}=\angle{DEA}=\alpha+1$ (c\'iclico $DBCE$). Luego $\triangle{DBF}\cong\triangle{DEA}$ (por $ALA$: $\angle{DBF}=\angle{DEA}=\alpha+1, BF=EA$ por enunciado, y $\angle{DFB}=\angle{DAE}=\beta+2$), as\'i $DB=DE\Rightarrow\triangle{DBE}$ es is\'osceles de base $\overline{BE}$, luego $\alpha=\beta$, probando lo pedido $\blacksquare$

Saludos pompomgirl.gif


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"He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
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Pasten
mensaje Aug 13 2007, 09:02 PM
Publicado: #7


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CITA(GlagosSA @ Aug 13 2007, 08:15 PM) *
TEX: \textbf{Problema 2}\textit{Sean $x\le y\le z$ numeros reales tales que $xy+yz+zx=1$\\<br />a)\ \ \ Pruebe que $xz\le \dfrac{1}{2}$\\<br />b)\ \ \ Es posible mejorar la constante $\dfrac{1}{2}$? Explique.}\\


TEX: \noindent<br />a) Si $zx>\frac{1}{2}$ se tendria $\frac{1}{2}>1-zx=y(x+z)\ge x^2 +zx\ge zx>\frac{1}{2}$, absurdo.\\<br />\\<br />b) Sea $\epsilon>0, x=\sqrt{2\epsilon}=y, z=\frac{1-2\epsilon}{\sqrt{8\epsilon}}$, para un $\epsilon$ tan peque\~no que $z>y=x$ (notar que $z=z(\epsilon)$ es decreciente, y no acotada para $\epsilon\rightarrow 0$), entonces vemos que $zx=\frac{1}{2}-\epsilon$, asi que $\frac{1}{2}$ es la mejor cota.\\<br />\\<br />Saludos<br />

Mensaje modificado por Pasten el Aug 13 2007, 09:11 PM


--------------------
Pasten, un buen muchacho en quien confiar.
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Tygger evolution
mensaje Aug 13 2007, 09:31 PM
Publicado: #8


Principiante Matemático Destacado
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Hola aca va mi unica solucion... el p4 aqui va...

Archivo Adjunto  img177si9.jpg ( 1.47mb ) Número de descargas:  2



En la figura se pude ver que el cuadrilatero ACFD es cíclico por lo cual se pueden desplazar los angulos:

<ACD = <AFD = α <FCD = <FAD = β

Luego demostraremos la congruencia de los triangulos ADE y FDB

Ya tenemos un lado de igualdad en estos triangulos (AE = FB)

Ahora llamamos a los angulos <EDC = ε y <CDF =γ

Luego utilizando la propiedad de que dos angulos interiores sumados es igual al angulo exterior no adyacente a ellos, De esto se obtiene que el angulo <AED = α+ε y <DFB= β+γ

Luego utilizando el mismo cuadrilateri ciclico nombrado anteriormente se obtiene que <CAF = γ

finalmente Utilizando el cuarilatero ciclico CEDB se obtienen los angulos <FBE = α <EBD = ε

Ahora como los triangulos ADE y FDB son congruentes por criterio ALA (<EAB = <BFD)(AE = FB)(<AED = <FBD)

de lo cual se obtiene que AD = FD demostrando asi que el triangulo ADF es isoceles de base AF
y como los angulos alfa y beta son los basales entonces los angulos son iguales.



saludos...


--------------------
Por aqui paso Tygger

SS.CC Fco Garrido
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Cesarator
mensaje Aug 13 2007, 09:44 PM
Publicado: #9





Invitado






Muucho time que no copero.

Para el P5, que me entretuvo un rato.

Primero, notar que TEX: $2007= 3\cdot3\cdot 223$ y luego, por la forma de la función, apuntamos a calcular
TEX: $g(223)$. Ahora, como nos gusta dividir por 3, apuntamos primero a calcular el valor en 222 y 225, que son los múltiplos de 3 más cercanos al 223.

Para ello, necesitamos el valor de la función en 8 y en 25.

Ahora, manos a la obra.

Primero, se ve facilmente que g(1)=2. Eso da varios valores de inmediato, y lo que sigue es un poco mecánico.

Así, por ejemplo, vemos que g(45)=72 y g(48)=75, lo que da de inmediato que g(46)=73 y g(47)=74.

Similarmente, llegamos a que g(141)=222 y g(144)=225, lo que da g(142)=223, y con eso ya estamos listos.

Conclusión (si no me equivoqué): g(2007) = 426 x 9 = 3807.

Editado: Pardone mua. 426 x 9 = 3824
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Cesarator
mensaje Aug 13 2007, 09:54 PM
Publicado: #10





Invitado






Cuenten cuántos sacaron, a mi me gustó la prueba, mucho mejor que las últimas que habíamos visto.
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