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> Teorema Chino
Pasten
mensaje Oct 24 2007, 10:21 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: \noindent<br />En adelante $A$ es un anillo conmutativo unitario.\\<br />\\<br />Teorema\\<br />Sean $a_i<A;i=1,...,n$ ideales comaximales dos a dos, entonces morfismo canonico <br />$$\phi:A\rightarrow \prod_{i=1}^{n}\frac{A}{a_i}$$<br />es sobreyectivo.\\<br />A demas, se tiene que $\phi\leadsto \bar{\phi}$ con <br />$$\frac{A}{\bigcap_{i=1}^{n} a_i}\simeq_{\displaystyle\bar{\phi}}\prod_{i=1}^{n}\frac{A}{a_i}$$<br />Demostracion\\<br />Fijemos $j: 1\le j\le n$. Por comaximalidad $$\forall i\ne j, \exists s_i\in a_j, t_i\in a_i: s_i+t_i=1$$<br />Definimos $$e_j:=\phi\left(\prod_{i\ne j} t_i\right)=\phi\left(\prod_{i\ne j} (1-s_i)\right)$$ Entonces como $e_j=(\delta_{ij})_i$ y <br />$$\prod_{i=1}^{n}\frac{A}{a_i}=\langle e_j\rangle _j$$<br />obtenemos que $\phi$ es epimorfismo.\\<br />Para la segunda parte basta observar que $$ker (\phi)=\bigcap_{i=1}^{n} a_i$$<br />entonces como $\phi$ es sobreyectiva, induce el isomorfismo $\bar{\phi}$ del enunciado. $\blacksquare$<br />


TEX: \noindent<br />Corolario\\<br />Tomamos $1\le i \le n$. Dados $m_i$ coprimos dos a dos, y los enteros $k_i$, el sistema de congruencias <br />$$x\equiv k_i\mod m_i$$<br />tiene solucion, y esta es unica modulo $\prod m_i$.\\<br />\\<br />Demostracion\\<br />Trivial, en el teorema tomamos $A=\mathbb{Z}, a_i=m_i\mathbb{Z}$. La sobreyectividad de $\phi$ nos da la existencia, y el isomorfismo nos da la unicidad. $\blacksquare$<br />

Saludos

Mensaje modificado por Pasten el Oct 24 2007, 10:45 PM


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Pasten, un buen muchacho en quien confiar.
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Jorgeston
mensaje Nov 13 2007, 09:46 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo


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Se agradece Pasten, muy hermosa demostración biggrin.gif

Aunque igual soy exceptico en cuanto a los contenidos que tratas ahi, no creo que cualquiera ( me refiero a personas olimpicas, esto es, enseñanza media) se maneje tan bien en algebrá. ( tallá interná)



saludos
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El Geek
mensaje Aug 18 2011, 12:45 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Me asalta la duda de si esas notaciones y términos tienen alguna utilidad o fin olímpico ohmy.gif


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