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> punto de acumulación
d1e6o
mensaje Oct 28 2007, 03:47 PM
Publicado: #1


Matemático
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amigos de fmat.......quisiera saber ¿que es un punto de acumulación?, por mas que lo trato de entender no puedo.....eso seria. aporte.gif
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wenopagozar
mensaje Oct 29 2007, 12:45 PM
Publicado: #2


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¿Te refieres a un punto de acumulación en un conjunto de puntos o en una sucesión? Bueno al final son la misma cosa, ya que la sucesión puede ser tomada como un conjunto de puntos. Las definiciones son distintas pero ambas apuntan hacia la misma idea intuitiva, bueno al final es lo mismo pero no entremos en confusiones. Voy a suponer que preguntas por el punto de acumulación de un conjunto.

Primero, así bien intuitivamente, imagina que tienes un conjunto de puntos y te das cuenta que hay un lugar donde se van juntando cada vez más. Luego miras con la lupa y aún notas eso. Luego miras con el microscopio y todavía lo notas. Luego inventas un microscopio ultra potente y todavía lo notas. Así puedes seguir infinitamente. Ahora, ¿hacia donde te estabas acercando tú? Lo que estás haciendo es ir hacia un punto de acumulación, ya que este tipo de puntos son los únicos que, si te acercas infinitamente, todavía puedes notar puntos cercanos a estos.

Ahora, vamos con un ejemplo. Imagina el conjunto TEX: $A= \{ x \in \mathbb{R} | x=\dfrac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \}$ (un subconjunto de TEX: $\mathbb{R}$). ¿Te lo imaginaste? Bueno, de todas maneras te dejo un dibujo... Pero mejor imaginatelo porque son infinitos puntos los que se acercan a TEX: $0$. Luego, TEX: $0$ es un punto de acumulación.

Vamos acercándonos a la definición. Voy a suponer que sabes lo que es una bola abierta. Piensa en un bola abierta (en este caso en un intervalo, ya que estamos en TEX: $\mathbb{R}$) que tiene como centro a TEX: $0$. Ahora, a esa bola sácale el TEX: $0$ (que quede con un "hoyo" en TEX: $0$). Puedes notar que esa bola que tienes en mente contiene puntos del conjunto TEX: $A$. Si piensas en una bola más chica, ésta también contiene puntos de TEX: $A$. Puedes achicar la bola cuanto quieras, infinitamente. Esa característica fantástica es la que hace al TEX: $0$ un punto de acumulación.

Ahora vamos a la definición. Un punto TEX: $p$ se dice "punto de acumulación" del conjunto TEX: $A$, si:

TEX: $(\forall \epsilon > 0) \ \ (B(p, \epsilon)-\{ p \}) \cap A \neq \emptyset$

es decir, en palabras chilenas: para el radio que se te ocurra, una bola con ese radio, centrado en TEX: $p$ y con un hoyo en este mismo punto, intersectado con el conjunto TEX: $A$, debe ser distinto de vacío. O como dije denante, cualquier bola con centro en TEX: $p$ y con un hoyo en el mismo, debe contener puntos de TEX: $A$.
Nota: la idea de sacar el centro es porque en algunos casos no tendría gracia si consideraramos el centro. Ahí te podrás dar cuenta en alguna ocasión.

Traté de ser lo más claro posible. Si no se entiende algo se avisa no más. Espero que te sirva.
Saludos.
rexus.gif

Mensaje modificado por wenopagozar el Oct 29 2007, 01:02 PM
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d1e6o
mensaje Oct 29 2007, 09:34 PM
Publicado: #3


Matemático
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oooo...
mil gracias...
ahora me quedo mucho mas claro!!
clap.gif

te pasaste jpt_rezzopapichulo.gif
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Keno
mensaje Nov 27 2007, 02:10 PM
Publicado: #4


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Hola. Muy buena explicación pero podrías poner un ejemplo en el que la idea de sacar el centro no tuviera gracia. Un saludo
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wenopagozar
mensaje Nov 29 2007, 07:13 PM
Publicado: #5


Dios Matemático
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CITA(Keno @ Nov 27 2007, 05:10 PM) *
Hola. Muy buena explicación pero podrías poner un ejemplo en el que la idea de sacar el centro no tuviera gracia. Un saludo

La verdad es que me equivoqué al decir que "en algunos casos" no tendría gracia.
Imagina cualquier conjunto de puntos (A, por poner un nombre). Si en la definición de punto de acumulación no le sacamos el centro, tedríamos que todos los puntos de A son de acumulación (todos cumplirían con la definición). Si p es un punto cualquiera de A, éste sería punto de acumulación, ya que si consideras cualquier radio TEX: $\epsilon$, la bola TEX: $B(p;\epsilon)$ intersecta sí o sí con A, puesto que la bola contiene a p y A también contiene a p.
Es por eso que no tendría gracia.
Saludos.
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llucero
mensaje Nov 5 2009, 12:03 PM
Publicado: #6


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hola:

ojala me ayuden porque esto me tiene confundido.........en este mismo ejemplo....si yo tomo por ejemplo el punto 1/2=0,5.......y hago una bola en ese centro........con radio 0,5.........y saco el centro (0,5).........dentro de la bola quedan el 0,6,el 0,7.....entonces tambien cumpliria con la definicion?

como es lo correcto?

ojala me respondan ....

saludos
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Abu-Khalil
mensaje Nov 5 2009, 12:43 PM
Publicado: #7


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Que en la definición se perfore en el centro, es para evitar que todo punto sea punto de acumulación y hacer la distinción con puntos aislados. Por ejemplo, considera TEX: $\left(\mathbb{N},d\right)$ con TEX: $d$ la usual restriginda de los reales, entonces TEX: $\mathbb{N}$ no tiene puntos de acumulación pues si tomas TEX: $\epsilon=1$ ya fregaste. Si no hubieses perforado el centro, si serían tongue.gif

CITA(llucero @ Nov 5 2009, 02:03 PM) *
hola:

ojala me ayuden porque esto me tiene confundido.........en este mismo ejemplo....si yo tomo por ejemplo el punto 1/2=0,5.......y hago una bola en ese centro........con radio 0,5.........y saco el centro (0,5).........dentro de la bola quedan el 0,6,el 0,7.....entonces tambien cumpliria con la definicion?

como es lo correcto?

ojala me respondan ....

saludos

Depende de en qué conjunto estás trabajando. En TEX: $\mathbb{Q}$, todos los puntos son de acumulación pues sin importar que tan cerca mire, siempre hay un racional cerca de otro. Pero si estás trabajando en TEX: $\frac{1}{10}\mathbb{Z}$, entonces ahí nadie acumula puntos.


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