Otro de soluciones enteras

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Otro de soluciones enteras, Resuelto por Killua [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2006, 05:59 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problemita Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuacion $TEX: $a^3+2b^3=4c^3$$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2006, 07:21 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}oluci\acute{o}n}$$ $TEX: \noindent Adem\'as de la soluci\'on trivial $a=b=c=0$, tenemos lo siguiente:\\<br /><br />\noindent $\boxed{Caso\ 1,\ a,b,c\ del\ mismo\ signo}$\\<br /><br />\noindent En este caso, si $(a,b,c)$ es una soluci\'on (con $a,b,c\in\mathbb{Z}^+$), entonces $(-a,-b,-c)$ tambi\'en es soluci\'on. Por lo tanto s\'olo nos centraremos en $a,b,c$ positivos. De existir soluciones, debe haber una que sea la m\'inima. Si no hay una soluci\'on m\'inima, entonces no existe soluci\'on (este m\'etodo, conocido como $descenso\ infinito$, es el que ocuparemos a lo largo del problema). Entonces tenemos:<br /><br />$$a^3+2b^3=4c^3$$<br /><br />\noindent De ah\'i se sigue que $a^3$ es par, o sea $a$ tambi\'en; entonces $a=2a_1$. Reemplazando:<br /><br />$$(2a_1)^3+2b^3=4c^3$$<br />$$8a_1^3+2b^3=4c^3$$<br />$$4a_1^3+b^3=2c^3$$<br /><br />\noindent Se sigue que $b^3$ y $b$ son pares $\Rightarrow{b=2b_1}$. Luego:<br /><br />$$4a_1^3+(2b_1)^3=2c^3$$<br />$$4a_1^3+8b_1^3=2c^3$$<br />$$2a_1^3+4b_1^3=c^3$$<br /><br />\noindent Es evidente que $c^3$ y $c$ son pares, luego $c=2c_1$. Ahora:<br /><br />$$2a_1^3+4b_1^3=(2c_1)^3$$<br />$$2a_1^3+4b_1^3=8c_1^3$$<br />$$a_1^3+2b_1^3=4c_1^3$$<br /><br />\noindent Que es la misma ecuaci\'on que la inicial, con otras variables. Por lo tanto podemos repetir lo anterior infinitamente, y nunca llegaremos a una soluci\'on menor. Por lo tanto no existe una soluci\'on menor, y tampoco existen soluciones positivas $\blacksquare$$ $TEX: \noindent $\boxed{Caso\ 2, uno\ negativo\ (distinto\ de\ 4c^3)}$\\<br /><br />\noindent Digamos que $2b^3$ es negativo, o sea $2b^3=-2y^3$, siendo $y$ entero positivo (no importa si $a^3$ o $2b^3$ son negativos, porque es lo mismo). Tenemos:<br /><br />$$a^3-2y^3=4c^3$$<br />$$a^3=4c^3+2y^3$$<br /><br />\noindent De ah\'i se sigue que $a^3$ es positivo, entonces $a$ tambi\'en; $a=2a_2$.<br /><br />$$(2a_2)^3=4c^3+2y^3$$<br />$$8a_2^3=4c^3+2y^3$$<br />$$4a_2^3=2c^3+y^3$$<br /><br />\noindent Se sigue que $y^3$ e $y$ son pares, luego $y=2y_2$.<br /><br />$$4a_2^3=2c^3+(2y_2)^3$$<br />$$4a_2^3=2c^3+8y_2^3$$<br />$$2a_2^3=c^3+4y_2^3$$<br /><br />\noindent Se sigue que $c^3$ y $c$ son pares, luego $c=2c_2$.<br /><br />$$2a_2^3=(2c_2)^3+4y_2^3$$<br />$$2a_2^3=8c_2^3+4y_2^3$$<br />$$a_2^3=4c_2^3+2y_2^3$$<br /><br />\noindent Notemos que es la misma ecuaci\'on original, pero con distintas variables, por lo tanto no existe una soluci\'on m\'inima, ni tampoco soluciones en este caso $\blacksquare$$ $TEX: \noindent $\boxed{Caso\ 3,\ 4c^3\ negativo}$\\<br /><br />\noindent $4c^3=-4z^3$, con $z\in\mathbb{Z}^+$. Si nos fijamos bien, esto es lo mismo que si $a^3$ y $2b^3$ fueran negativos, porque en ambos casos nos queda $a^3+2b^3+4c^3=0$. Tenemos:<br /><br />$$a^3+2b^3+4z^3=0$$<br /><br />\noindent $a$ es par; $a=2a_3$<br /><br />$$(2a_3)^3+2b^3+4z^3=0$$<br />$$8a_3^3+2b^3+4z^3=0$$<br />$$4a_3^3+b^3+2z^3=0$$<br /><br />\noindent $b$ es par; $b=2b_3$<br /><br />$$4a_3^3+(2b_3)^3+2z^3=0$$<br />$$4a_3^3+8b_3^3+2z^3=0$$<br />$$2a_3^3+4b_3^3+z^3=0$$<br /><br />\noindent $z$ es par; $z=2z_3$<br /><br />$$2a_3^3+4b_3^3+(2z_3)^3=0$$<br />$$2a_3^3+4b_3^3+8z_3^3=0$$<br />$$a_3^3+2b_3^3+4z_3^3=0$$<br /><br />\noindent Nuevamente es la ecuaci\'on inicial, o sea no existen soluciones en este caso $\blacksquare$\\<br /><br />\noindent Se concluye que la \'unica soluci\'on entera es $\boxed{a=b=c=0}$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2007, 09:01 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La solución es correcta , se entiende que para el caso de dos negativos y uno positivo se invierte el signo de toda la ecuación y se procede de igual forma. Eso sí, faltó comprobar que para solo uno de ellos igual a cero tampoco hay soluciones (trivialmente con descenso infinito) Saludos -------------------- $TEX: $CARITA$$

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