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C2 Geometría, MAT1102 1S 2007

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2008, 12:58 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />MAT1102 - Control 2 \\<br />24 de Abril de 2007 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{Fila A}$ \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{1}$ Un tri\'angulo tiene v\'ertices $A(z_1)$, $B(z_2)$, $C(-\omega z_1-\omega^2 z_2)$, con $z_1= 1+3i$, $z_2= 2-5i$ y donde $\omega$ es la ra\'iz c\'ubica principal de la unidad, demostrar que el tri\'angulo es equil\'atero. \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{2}$ Encontrar la ecuaci\'on de la simetral del trazo $\overline{AB}$ donde $A(z_1)$ y $B(z_2)$ son las ra\'ices de la ecuaci\'on:<br />$$20z^2-(1+2i)z-6-17i=0$$<br />$ $ \\<br />$\boxed{3}$ Resolver la ecuaci\'on $3x^3-13x^2+12x+70=0$ sabiendo que admite una raíz compleja con parte real igual a 3.<br />$

EnnaFrad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2008, 01:00 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 121 Registrado: 6-December 05 Desde: Las Condes - Chillán Miembro Nº: 460 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La fila B es lo mismo pero con distintos números. Poniéndome al día para que ejerciten antes de entrar a la U Saludos!!

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 12:42 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \boxed{P_1} Primero vamos a limpiar un poco las coordenadas del vértice C:<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />z_3&=-wz_1-w^2z_2\\<br />&=-wz_1(1+w)z_2\\<br />z_3&=-w(z_1+z_2)+z_2\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Luego para que sea equilátero, debería ocurrir que:<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\overrightarrow{AB}\cdot e^{i\frac{\pi}{3}}&=\overrightarrow{AC}\\<br />(z_2-z_1)\cdot e^{i\frac{\pi}{3}}&=(z_3-z_1)\\<br />(2-5i-1-3i)(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}})&=w(2-5i-1-3i)+2-5i-(1+3i)\\<br />(1-8i)\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)&=\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1-8i)+(1-8i)\\<br />(1-8i)\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)&=(1-8i)\left(\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+1\right)\\<br />(1-8i)\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)&=(1-8i)\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br /><br />Como hemos demostrado, lo anterior es cierto, luego como $\|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AC}\|$, entonces el ángulo $\gamma$ y $\beta$ son iguales, y como junto con $\alpha$ deben sumar 180, deducimos que $\gamma$=$\beta$=60. Por lo tanto, el $\triangle$ es equilátero.$ Mensaje modificado por Abu-Khalil el Oct 6 2008, 10:12 PM -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 01:09 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \boxed{P_3} Si la ecuación tiene coeficientes reales y una de sus raíz es un complejo, entonces una de sus raíces también debe ser el conjugado de ese complejo, es decir, tiene un número par de raíces complejas. Luego, es trivial que una de las soluciones debe ser real. \\<br />Para encontrarla recurrimos al Teorema de las raíces racionales en polinomios de coeficientes enteros, que nos dice que esta pertenecer al conjunto $\left\{\pm 2, \pm 3, \pm 7, \pm \dfrac{2}{3},\pm \dfrac{5}{3} ,\pm \dfrac{7}{3}\right\}$.\\<br />\\<br />Luego de una breve inspección encontramos que la raíz racional es $-\dfrac{5}{3}$, permitiendonos reescribir nuestra ecuación como:<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />3x^3-13x^2+12x+70&=0\\<br />(3x^2-18x+42)\left(x+\dfrac{5}{3}\right)&=0\\<br />(x^2-6x+14)\left(3x+5\right)&=0\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Finalmente, resolviendo el primer paréntesis como una ecuación cuadrática normal obtenemos que las soluciones son:<br />$x_1=\dfrac{-5}{3},$ $x_2=3+i\sqrt{5},$ $x_3=3-i\sqrt{5}$.$ Mensaje modificado por Abu-Khalil el Apr 19 2008, 01:10 AM -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 6 2008, 10:56 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent $\boxed{P_2}$ Resolvemos primero la ecuación<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />&20z^2-(1+2i)z-(6+17i)=0\\<br />\iff& z=\frac{1+2i\pm\sqrt{(1+2i)^2+4\cdot 20 \cdot (6+17i)}}{40}\\<br />\iff& z=\frac{1+2i\pm\sqrt{477+1364i}}{40}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Por otro lado, <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\sqrt{477+1364i}<br />&=\sqrt{\frac{\sqrt{477^2+1364^2}+477}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{477^2+1364^2}-477}{2}}\\<br />&=\sqrt{\frac{1445+477}{2}}+i\sqrt{\frac{1445-477}{2}}\\<br />&=31+22i\\<br />.: z&=\frac{1+2i\pm(31+22i)}{40}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Así<br />\[z_1=\frac{32+24i}{40}=\frac{8+11i}{10}\]<br />\[z_2=-\frac{30+20i}{40}=-\frac{3+2i}{4}\]<br />Luego, la simetral queda dada por<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\|z-z_1\|&=\|z-z_2\|\\<br />\left\|z-\frac{8+11i}{10}\right\|&=\left\|z+\frac{3+2i}{4}\right\|.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

XaPi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2008, 01:11 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.872 Registrado: 9-March 06 Desde: Welcome Miembro Nº: 614 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \boxed{P3}\\<br />\ \\<br />Digamos que las raices complejas son $x = 3 + bi$, $x= 3-bi$. Entonces $(x - (3+bi))(x- (3-bi)) = x^2 - 6x + c$ es un factor del polinomio dado, donde $c= 9+b^2$. Luego:\\<br />\ \\<br />$3x^3-13x^2+12x+70 : x^2 - 6x + c = 3x+5$ y el resto de esta division es $(42-3c)x + (70-5c)$. Como el polinomio cuadratico ES un factor, obtenemos que (3x+5) es el factor lineal buscado, y ademas, el resto debe ser 0, lo cual se obtiene solamente cuando $c=14 \implies b^2 = 5 \implies b=\pm \sqrt{5}$.\\<br />\ \\<br />Por consiguiente, las raices son: $x_1 = -\dfrac{5}{3}, x_2 = 3 + i\sqrt{5} , x_3 = 3 - i\sqrt{5}$$ Pero el ayud.. o sea Abu, ya hizo el control entero >.< Slds -------------------- USA MAPLE ANTES QUE L'HOPITAL!!!! --- fan ----------------- CURRICULUM VITAE ----------------- 296 pts en la PSU de Matemáticas Admisión 2010. Estudiante de Primer Año de Licenciatura en Historia, Ciencias Sociales y Filosofía Jurídica U. de Talca VII Region Chile

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2008, 11:46 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	con simple inspeccion se refieren asi como "probando cual sirve" ? xd -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2008, 05:38 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(felper @ Oct 27 2008, 01:46 AM) con simple inspeccion se refieren asi como "probando cual sirve" ? xd Si. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

iblipoxx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 26 2008, 05:12 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 23 Registrado: 27-October 07 Miembro Nº: 11.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Que buena que tengan geometria asi a secas.... -------------------- Comunidad Chilena De Radiohead :-)

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 26 2008, 05:26 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	CITA(iblipoxx @ Nov 27 2008, 07:42 AM) Que buena que tengan geometria asi a secas.... el proximo año la eliminanxdxd asi k no se k hara don fernando arenas con sus libros xdxd va atener k apretarse el cinturon

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