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Entrenamiento Algebra v2.0, [Medio]

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2008, 10:54 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tan super entretes aqui la solucion a uno de agradecimiento: $TEX: \[<br />\boxed{p46}<br />\]<br />$ debemos saber quien es mayor , para esto, llamemos: $TEX: \[<br />A = \frac{{123456 + 10^{999} }}<br />{{123457 + 10^{999} }} \wedge B = \frac{{123457 + 10^{999} }}<br />{{123458 + 10^{999} }}<br />\]<br />$ nuestro problema se reduce a hallar el $TEX: \[<br />max\left\{ {A,B} \right\}<br />\]<br />$ notemos que, $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{1}<br />{A} = \frac{{123456 + 10^{999} + 1}}<br />{{123456 + 10^{999} }} = 1 + \frac{1}<br />{{123456 + 10^{999} }} \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{B} = \frac{{123457 + 10^{999} + 1}}<br />{{123457 + 10^{999} }} = 1 + \frac{1}<br />{{123457 + 10^{999} }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ como 1>0 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \Rightarrow 123457 + 10^{999} > 123456 + 10^{999} \hfill \\<br /> \underbrace {1 + \frac{1}<br />{{123457 + 10^{999} }}}_{\frac{1}<br />{B}} < \underbrace {1 + \frac{1}<br />{{123456 + 10^{999} }}}_{\frac{1}<br />{A}} \hfill \\<br /> \therefore B > A \Leftrightarrow \frac{{123457 + 10^{999} }}<br />{{123458 + 10^{999} }} > \frac{{123456 + 10^{999} }}<br />{{123457 + 10^{999} }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2008, 11:20 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{Sp_{32} } \hfill \\<br /> \left( {x,y} \right) \in \mathbb{N},{\text{ }}es{\text{ }}decir,{\text{ }}las{\text{ }}soluciones{\text{ }}son{\text{ }}positivas. \hfill \\<br /> x^2 + 361 = y^2 \hfill \\<br /> 361 = y^2 - x^2 \hfill \\<br /> 361 = \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) \hfill \\<br /> Notemos{\text{ }}que{\text{ }}361{\text{ }}es{\text{ }}primo{\text{ }}y{\text{ }}sus{\text{ }}divisores{\text{ }}positivos{\text{ }}son \hfill \\<br /> 1 \wedge 361,{\text{ }}luego{\text{ }}tenemos{\text{ }}los{\text{ }}siguientes{\text{ }}sistemas: \hfill \\<br /> (1) \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> (i){\text{ }}y + x = 361 \hfill \\<br /> (ii){\text{ }}y - x = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> Sumamos{\text{ }}(i) \wedge (ii),{\text{ }}y{\text{ }}obtenemos \hfill \\<br /> 2y = 362 \Rightarrow \boxed{y = 181} \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}reemplazamos{\text{ }}en{\text{ }}(i){\text{ }}de{\text{ }}donde{\text{ }}se{\text{ }}obtiene{\text{ }}que{\text{ }} \hfill \\<br /> x = 180. \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}bien,{\text{ }}trabajamos{\text{ }}con{\text{ }}el{\text{ }}sistema{\text{ }}(2) \hfill \\<br /> {\text{(2)}} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> (i){\text{ }}y + x = 1 \hfill \\<br /> (ii){\text{ }}y - x = 361 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> Sumamos{\text{ }}(i) \wedge (ii),{\text{ }}y{\text{ }}obtenemos \hfill \\<br /> 2y = 362 \Rightarrow \boxed{y = 181} \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}reemplazamos{\text{ }}en{\text{ }}(i){\text{ }}de{\text{ }}donde{\text{ }}se{\text{ }}obtiene{\text{ }}que{\text{ }} \hfill \\<br /> x = 180,{\text{ }}y{\text{ }}como{\text{ }}en{\text{ }}(1){\text{ }}y{\text{ }}(2){\text{ }}obtuvimos{\text{ }}las{\text{ }}mismas{\text{ }}soluciones,{\text{ }}y{\text{ }}todas \hfill \\<br /> positivas,{\text{ }}concluimos{\text{ }}que{\text{ }}\left( {x,y} \right) = \left( {180,181} \right) \in \mathbb{N} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Si recuerdo bien, hay un propuesto de makmat que se resuelve de la misma manera. Con respecto a mi solucion, no me convencio mucho desde un principio al resolverlo, ya que llegaba a las mismas soluciones, pero será. Salu2 PD:Buenos los problemas, sirven para preparacion para ONM. Mensaje modificado por 69___ el Aug 15 2008, 11:22 PM -------------------- CHAO.

asesina Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2008, 11:50 PM Publicado: #13
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 20-April 08 Desde: Los Angeles Miembro Nº: 20.570 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ah wena gracias

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 12:56 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Perdona MisTer_BurNS por robarte la solucion $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{Sp_{26} } \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {Solucion{\text{ }}1} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> \sqrt {1000000 \bullet 1000001 \bullet 1000002 \bullet 1000003 + 1} \hfill \\<br /> = \sqrt {2000\left( {2000 + 3} \right)\left( {2000 + 2} \right)\left( {2000 + 1} \right) + 1} \hfill \\<br /> = \sqrt {\left( {2000^2 + 3 \bullet 2000} \right)\left( {2000^2 + 3 \bullet 2000 + 2} \right) + 1} \hfill \\<br /> = \sqrt {\left( {2000^2 + 3 \bullet 2000} \right)^2 + 2\left( {2000^2 + 3 \bullet 2000} \right) + 1} \hfill \\<br /> = \sqrt {\left( {\left( {2000^2 + 3 \bullet 2000} \right) + 1} \right)^2 } \hfill \\<br /> = \left( {2000^2 + 3 \bullet 2000} \right) + 1 \hfill \\<br /> = 4.006.001 \hfill \\<br /> By{\text{ }}MisTer\_BurNS \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Salu2 -------------------- CHAO.

rudoox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 01:01 AM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 231 Registrado: 2-August 08 Desde: Laja - VIII región Miembro Nº: 31.266 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Rurouni Kenshin @ Jun 8 2008, 12:05 AM) Este ya es un Material donde los primeros son mas sencillos, pero del 10 para adelante la cosa se pone mas dificil. [attachment=11735:Entrenam...__Medio_.pdf] Espero sea de su total agrado y posteen aca sus respectivas soluciones a estos hermosos problemas Saludos PD: Editado el P55 (le faltaba lo que habia que probar) Gracias! esté bueo --------------------

Soul_Hunter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 08:13 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 665 Registrado: 12-June 07 Desde: the city of the fallen angels Miembro Nº: 6.649 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(69___ @ Aug 15 2008, 11:11 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{Sp_{32} } \hfill \\<br /> \left( {x,y} \right) \in \mathbb{N},{\text{ }}es{\text{ }}decir,{\text{ }}las{\text{ }}soluciones{\text{ }}son{\text{ }}positivas. \hfill \\<br /> x^2 + 361 = y^2 \hfill \\<br /> 361 = y^2 - x^2 \hfill \\<br /> 361 = \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) \hfill \\<br /> Notemos{\text{ }}que{\text{ }}361{\text{ }}es{\text{ }}primo{\text{ }}y{\text{ }}sus{\text{ }}divisores{\text{ }}positivos{\text{ }}son \hfill \\<br /> 1 \wedge 361,{\text{ }}luego{\text{ }}tenemos{\text{ }}los{\text{ }}siguientes{\text{ }}sistemas: \hfill \\<br /> (1) \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> (i){\text{ }}y + x = 361 \hfill \\<br /> (ii){\text{ }}y - x = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> Sumamos{\text{ }}(i) \wedge (ii),{\text{ }}y{\text{ }}obtenemos \hfill \\<br /> 2y = 362 \Rightarrow \boxed{y = 181} \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}reemplazamos{\text{ }}en{\text{ }}(i){\text{ }}de{\text{ }}donde{\text{ }}se{\text{ }}obtiene{\text{ }}que{\text{ }} \hfill \\<br /> x = 180. \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}bien,{\text{ }}trabajamos{\text{ }}con{\text{ }}el{\text{ }}sistema{\text{ }}(2) \hfill \\<br /> {\text{(2)}} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> (i){\text{ }}y + x = 1 \hfill \\<br /> (ii){\text{ }}y - x = 361 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> Sumamos{\text{ }}(i) \wedge (ii),{\text{ }}y{\text{ }}obtenemos \hfill \\<br /> 2y = 362 \Rightarrow \boxed{y = 181} \hfill \\<br /> Ahora{\text{ }}reemplazamos{\text{ }}en{\text{ }}(i){\text{ }}de{\text{ }}donde{\text{ }}se{\text{ }}obtiene{\text{ }}que{\text{ }} \hfill \\<br /> x = 180,{\text{ }}y{\text{ }}como{\text{ }}en{\text{ }}(1){\text{ }}y{\text{ }}(2){\text{ }}obtuvimos{\text{ }}las{\text{ }}mismas{\text{ }}soluciones,{\text{ }}y{\text{ }}todas \hfill \\<br /> positivas,{\text{ }}concluimos{\text{ }}que{\text{ }}\left( {x,y} \right) = \left( {180,181} \right) \in \mathbb{N} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Si recuerdo bien, hay un propuesto de makmat que se resuelve de la misma manera. Con respecto a mi solucion, no me convencio mucho desde un principio al resolverlo, ya que llegaba a las mismas soluciones, pero será. Salu2 PD:Buenos los problemas, sirven para preparacion para ONM. El 361 no es primo, $TEX: $19^2=361$$ --------------------

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 08:15 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	CITA(Apolonio @ Aug 16 2008, 09:03 PM) El 361 no es primo, $TEX: $19^2=361$$ Pifia fatal Gracias por la correccion, aunque solo basta con agregarlo a la lista, crear el sistema, hallar las soluciones nuevas y corregir en la solucion original. Salu2 Mensaje modificado por 69___ el Aug 26 2008, 12:04 AM -------------------- CHAO.

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 08:59 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{Sp_{15} } \hfill \\<br /> \underline {Parte{\text{ }}a} \hfill \\<br /> \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right)\left( {x^4 + 1} \right)\left( {x^8 + 1} \right)\left( {x^{16} + 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^2 - 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right)\left( {x^4 + 1} \right)\left( {x^8 + 1} \right)\left( {x^{16} + 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^4 - 1} \right)\left( {x^4 + 1} \right)\left( {x^8 + 1} \right)\left( {x^{16} + 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^8 - 1} \right)\left( {x^8 + 1} \right)\left( {x^{16} + 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^{16} - 1} \right)\left( {x^{16} + 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^{32} - 1} \right)\left( {x^{32} + 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = \left( {x^{64} - 1} \right)\left( {x^{64} + 1} \right) \hfill \\<br /> = x^{128} - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Debe notar que se forman solo Sumas por su Diferencia, lo que nos facilita mucho la realizacion del producto. Salu2 -------------------- CHAO.

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 10:45 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{Sp_{24} } \hfill \\<br /> 123456789^2 - 123456790 \times 123456788 \hfill \\<br /> = \left( {123456788 + 1} \right)^2 - \left( {123456788 + 2} \right) \times 123456788 \hfill \\<br /> Sea{\text{ }}y = 123456788,luego \hfill \\<br /> \left( {123456788 + 1} \right)^2 - \left( {123456788 + 2} \right) \times 123456788 \hfill \\<br /> = \left( {y + 1} \right)^2 - \left( {y + 2} \right)y \hfill \\<br /> = y^2 + 2y + 1 - \left( {y^2 + 2y} \right) \hfill \\<br /> = y^2 + 2y + 1 - y^2 - 2y \hfill \\<br /> = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Salu2 -------------------- CHAO.

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2008, 11:34 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Solucion Problema 47 en el siguiente : http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=252...mp;#entry174919 Salu2 -------------------- CHAO.

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