Propuesto límite Gallagher 4 Opciones

[liam_gallagher]

Mensaje modificado por liam_gallagher el Jun 11 2008, 10:15 PM

[dany_nash]

lo editaste xD..la vez que lo vi estuve confundido... se me habia olvidao preguntarte si taba bien escrito xD..

posteo mi solucion ...

1) para demostrar que la sucesion es monotona decreciente entonces debe cumplirse que:


pero tenemos que:

,

entonces tenemos :









de esto ultimo tenemos dos soluciones:



como la sucesion está compuesta solo por valores postivos, entonces la sucesion tambien lo está, por lo tanto , por lo que a solucion anterior es:



por lo tanto, la sucesion , es monotona decreciente.

b) calcularemos el limite de la sucesion :







la ecuacion anterior nos da dos valores para L:



pero como , entonces el limite es




adioss


xuata q es tedioso escribir en latex XD

espero este correcta mi solucion

Pd: no me dejaa editar nada u.u

Mensaje modificado por dany_nash el Jun 13 2008, 11:58 PM

[Aprendixmat]

lo editaste xD..la vez que lo vi estuve confundido... se me habia olvidao preguntarte si taba bien escrito xD..posteo mi solucion ...1) para demostrar  que la sucesion es monotona decreciente entonces debe cumplirse que:                                   
  pero tenemos  que:


, entonces tenemos : 






 

de esto ultimo tenemos dos soluciones:como la sucesion está compuesta solo por valores postivos, entonces la sucesion tambien lo está, por lo tanto , por lo que a solucion anterior es:

Tu solución es incorrecta  . No puedes asumir que y con eso llegar a que

b) calcularemos el limite de la sucesion :

Supongo que querías decir : . De ser así ¿por qué ?

saludos.

[dany_nash]

Tu solución es incorrecta  . No puedes asumir que y con eso llegar a que

saludos.

yo no asumi nada ahi.....solo qeria comproba que aquello que se cumplia, y efectivamente se cumple.Me falto demostrar que entonces , pero ia estaba cansado con latex XD


apss deveraa ,,,,que estaba pensado en ese momento.... edito altiro el calculo del limite .. qeria decir que


PD: ¬¬ no me edita,, fe de erratas en vez de debe ser lo mismo para

Mensaje modificado por dany_nash el Jun 13 2008, 10:15 PM

[Aprendixmat]

Tu solución sigue incorrecta.

[2.718281828]

El intento de demostración efectivamente esta incorrecto ya que asumió lo que se tenia que demostrar. Pero sí dio algunas ideas correctas que tomaré.

Note que efectivamente tenemos que , lo que significa que tanto la subsucesión par como la impar obedecen a la misma sucesión solo que comienzan con dos valores diferentes. 1 para la impar y 1/2 para la par. Veremos que estos dos valores producen comportamientos de la sucesión totalmente diferentes que es lo que se quiere demostrar en (a).

Comencemos con un primer resultado:

Lema 1:

sea donde la función se define en los reales positivos y es una función estrictamente creciente.
ssi . si y en , donde y es el numero de oro igual a (con lo que algunos griegos estimulaban su imaginación)

Dem. Notemos que donde claramente obtenemos todos los casos descritos.

Supongamos ahora que , donde es un valor positivo. Dependiendo del valor de , tenemos el siguiente resultado:

Lema 2:

Sea del lema 1. entonces:
1) Si entonces es monotona decreciente
2) Si entonces es monotona creciente
3) independiente del valor de , converge a

Dem.
Solo demostraremos (1) y (3) ya que (2) es ctrl+c de (1) con la desigualdad cambiada.
(1): usando el lema 1, tenemos que , pero como , y el hecho de que es creciente, , esto es . Luego, por un argumento de inducción, tenemos que es monotona decreciente (y acotada por )
(2): análogo a (1) pero con las desigualdades cambiadas.
(3): S.P.G supongamos que . De (1) tenemos que es monotona decreciente y acotada inferiormente, por lo que converge a un valor tal que que por lema 1 es . El caso es análogo.


En consecuencia;
Dem de (a): para la subsucesión impar , tenemos que , luego se sigue del lema 2, parte (1), mientras que para la subsucesión impar , tenemos que , luego se sigue del lema 2, parte (2).

Dem de (b): Es consecuencia del lema 2 parte (3) puesto que se alterna entre dos subsucesiones, par e impar las cuales convergen a . Por lo tanto converge a . (demostrar eso es bastante facil mediante definición. No lo hare por que no me sale de las esféricas).

Saludos
Claudio.

PD: es evidente que tiene una forma explicita a partir de la sucesión del hijito de Bonaccio y se puede demostrar usando eso, pero eso es de... C O L I P A T O. (es broma jiji, también es una demostración interesante, no me funen).