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> Segmentos Perpendiculares, Resuelto por Assassin....
Rurouni Kenshin
mensaje May 10 2006, 08:10 PM
Publicado: #1


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TEX: \noindent Sean $E$ y $F$ dos puntos en los lados $BC$ y $CD$ de un cuadrado $ABCD$, cumpliendose que $\angle EAF= 45^o$. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de la diagonal $BD$ con $AE$ y $AF$, respectivamente. Sea $P$ la interseccion de $MF$ y $NE$.\\<br />\\<br />Probar que $AP\perp EF$


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Assassin....
mensaje Feb 4 2008, 01:21 PM
Publicado: #2


Matemático
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TEX: Sea $Q = \overrightarrow{AP} \cap \overline{EF}$. Sabemos que en un cuadrado las diagonals son bisectices de sus ángulos por lo que $\angle{ABD}=\angle{ADB}=\angle{DBC}=\angle{BDC}=\angle{EAF}=45$. Notemos de esto que el ADFM es cíclico por lo que el $\angle{AFM} = 45 \Rightarrow \angle{AMF}=90$. Análogamente, por el cuadrilátero cíclico ABEN, obtenemos que el $\angle{ANE}=90$. Ahora podemos notar que $\overline{EN}$ y $\overline{FM}$ son alturas por lo que P es el ortocentro del $\triangle{AFE}$. Por lo tanto AQ es altura, luego $\overline{AP} \perp \overline{EF}. \blacksquare$
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Killua
mensaje Feb 4 2008, 05:47 PM
Publicado: #3


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CITA(Assassin.... @ Feb 4 2008, 04:17 PM) *


TEX: Sea $Q = \overrightarrow{AP} \cap \overline{EF}$. Sabemos que en un cuadrado las diagonals son bisectices de sus ángulos por lo que $\angle{ABD}=\angle{ADB}=\angle{DBC}=\angle{BDC}=\angle{EAF}=45$. Notemos de esto que el ADFM es cíclico por lo que el $\angle{AFM} = 45 \Rightarrow \angle{AMF}=90$. Análogamente, por el cuadrilátero cíclico ABEN, obtenemos que el $\angle{ANE}=90$. Ahora podemos notar que $\overline{EN}$ y $\overline{FM}$ son alturas por lo que P es el ortocentro del $\triangle{AFE}$. Por lo tanto AQ es altura, luego $\overline{AP} \perp \overline{EF}. \blacksquare$


Solución correcta, vamos a la sección correspondiente smile.gif

Saludos.


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Aheit
mensaje Feb 7 2008, 09:52 PM
Publicado: #4


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disculpa pero tengo una consulta...

que significa que ADFM sea cíclico?


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sebagarage
mensaje Feb 7 2008, 10:04 PM
Publicado: #5


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CITA(Aheit @ Feb 7 2008, 10:48 PM) *
disculpa pero tengo una consulta...

que significa que ADFM sea cíclico?


Quiere decir que dicho cuadrilátero admite una circunferencia circunscrita, por lo que sus elementos (ángulos, lados, etc...) adquieren propiedades específicas de ese tipo de cuadriláteros.


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Aheit
mensaje Feb 8 2008, 08:38 AM
Publicado: #6


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CITA(sebagarage @ Feb 8 2008, 01:00 AM) *
Quiere decir que dicho cuadrilátero admite una circunferencia circunscrita, por lo que sus elementos (ángulos, lados, etc...) adquieren propiedades específicas de ese tipo de cuadriláteros.

ahhh ok gracias jpt_rezzopapichulo.gif


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