Prueba de Clasificación, Nivel Menor (2008) Opciones

[Felipe_ambuli]

20ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS

Prueba de Clasificación, Nivel Menor

Primera Prueba

Problema 1: Se tienen naranjas apiladas en una piramide triangular. ¿Cuántas naranjas hay en la base de la pirámide?

Problema 2: En cada lado de un cuadrado de lado se marcan cuatro puntos de modo de subdividir cada lado en cinco partes iguales, y se unen como en la figura. ¿Cuál es el area de la región achurada?



Problema 3: El conjunto de los números enteros es dividido en partes (disjuntas) y no vacías que verifican la siguiente propiedad: si y pertenecen a entonces su suma pertenece al mismo conjunto . Determine los posibles valores del entero positivo .

Segunda Prueba

Problema 4: Encuentre todos los enteros positivos tales que

Problema 5: Se tiene un triángulo rectángulo de catetos y . Con centro en cada cateto se construye una circunferencia que pasa por el vértice del ángulo recto y es tangente a la hipotenusa (vea la figura). Calcule la razón entre los radios de ambas circunferencias.



Problema 6: En cada casilla de un tablero de hay una ampolleta. Además, se cuenta con interruptores. Para cada fila existe un interruptor que, al ser presionado, cambia el estado de las ampolletas de dicha fila (las que estaban encendidas se apagan, y las que estaban apagadas se encienden). Para cada columna se cuenta también con un interruptor que cambia el estado de las ampolletas en ella. Usando estos interruptores, ¿es siempre posible llegar, a partir de cualquier estado inicial, a un estado en el cual el número de ampolletas encendidas en cada fila o columna es al de ampolletas apagadas de dicha fila o columna?

[hect0r]

El conjunto de los números enteros es dividido en partes (disjuntas) y no vacías que verifican la siguiente propiedad si y pertenecen a entonces su suma pertenece al mismo conjunto . Determine los posibles valores del entero positivo .

nvm .me condorie =O!

Mensaje modificado por hect0r el Aug 23 2008, 08:29 PM

[Felipe_ambuli]

era

La del nivel menor es Z

[Gago]

era

para la mayor si
para la menor creo que no..

[Felipe_ambuli]

P4

.
Restamos y tenemos , pero , reemplazando: , como es primo entonces existen dos unicas posibles representaciones como producto de dos factores enteros para : . Entonces hay 4 casos:

Caso 1: , pero se indefine, por tanto no nos sirve este caso.
Caso 2: , este par si cumple con la relacion inicial.
Caso 3: , par que cumple.
Caso 4: que no satisface pues 1/a no se define.

Las unicas parejas posibles son

EDITADO: minimo error de tipeo...

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Aug 23 2008, 10:14 PM

[Felipe_ambuli]

P2



Lo que hacemos aqui es pintar ciertas zonas del cuadrado inicial. Se pintan los "bordes" de colores celeste, esmeralda (creo), naranjo y rojo. Lo que hacemos a continuacion es pegar la parte esmeralda junto a la naranja, quedando un triangulo verde. De la misma forma se pega el celeste sobre el rojo quedando un azul. El area de la figura conseguida es , al area del cuadrado original, pues lo unico que hicimos fue trasladar areas /y formamos finalmente la figura que esta encerrada en una linea negra). Ahora bien, esta area se divide en 26 cuadraditos, entonces el area de lo achurado (que en el fondo es cada cuadradito) es .

[Felipe_ambuli]

P1 ya resuelto AQUI.

[Aheit]

yo el problema 2 lo respondí de una forma muy rara xDD dije "si cada entonces en la linea del medio podriamos decir que ambos segmentos que no son iguales a los otros, son iguales entre ellos podriamos decir que los 4 segmentos restantes que son iguales serían y bueno luego hice algo (que no me puedo acordar que era xD sabes que aca lo estoy intentando denuevo pero no recuerdo como lo hice) para despejar x y luego alfinal me dio los

[makmat]

Se nos pide hallar los posibles en los que se divide , pero con la condición de que

{ }

Osea cada presentan la propiedad de cierre o clausura con respecto a la Suma.

Luego considerando dos subconjuntos consecutivos , definidos como





y no presentan elementos en común (son disjuntos) luego sea , sumando este elemento a otro del mismo conjunto, tenemos

, osea un elemento que no pertenece a , sino al subconjunto siguiente, de esto se concluye que los subconjuntos deben tener infinitos elementos tal que contengan la suma de cualquiera de dos de sus elementos.

Se sabe que presenta la propiedad de cierre o clausura en la Suma, y además , análogamente para (también son cerrados en la adición), conclusión los posibles son: 1, porque cumple con las condiciones del enunciado; 2 dado por los subconjuntos (notar que el puede estar en los enteros negativos o en los Naturales, por ser elemento neutro no afecta las condiciones); y 3, dado por los subconjuntos nombrados anteriormente en el 2 pero considerando al como un subconjunto aparte ya que también es cerrado en Suma.



Espero se entienda

vale por tu solucion felipe master xdd al P4(yo lo hice buscando numeros perfectos ) y como hiciste el P5?

aqui esta la solucion al P3 espero este buena.

[Felipe_ambuli]

yo lo hice buscando numeros perfectos

Que?!!