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Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (2008)

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 08:21 PM Publicado: #1
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	20ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba de Clasificación, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1. Se tienen 680 naranjas apiladas en una pirámide triangular. ¿Cuantas naranjas hay en la base de la pirámide? Problema 2. En cada lado de un cuadrado de lado $TEX: $n$$ se marcan $TEX: $n-1$$ puntos de modo de subdividir cada lado en n partes iguales, y se unen como en la figura. ¿Cual es el área de la región achurada? p2lq3.png ( 20.62k ) Número de descargas: 13 Problema 3. El conjunto $TEX: \[<br />\mathbb{Z}^2 <br />\]$ es dividido en $TEX: $n$$ partes (disjuntas) y no vacías $TEX: \[<br />A_1 ,...,A_n <br />\]<br />$ que verifican la siguiente propiedad: si $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ pertenecen a $TEX: \[<br />A_i <br />\]$ entonces su suma $TEX: $a+b$$ pertenece al mismo conjunto $TEX: \[<br />A_i <br />\]$ . Determine los posibles valores del entero positivo n. Observacion: recuerde que la suma de $TEX: \[<br />a = \left( {m,n} \right) \in \mathbb{Z}^2 <br />\]$ y $TEX: \[<br />b = \left( {m',n'} \right) \in \mathbb{Z}^2 <br />\]$ es definida como $TEX: \[<br />\left( {m + m',n + n'} \right)<br />\]<br />$ Segunda Prueba Problema 4. Se definen las sucesiones $TEX: \[<br />x_n <br />\]$ , $TEX: \[<br />y_n <br />\]<br />$ mediante las siguientes reglas $TEX: \[<br />x_0 = 2<br />\]$ , $TEX: \[<br />x_1 = 5<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />x_{n + 1} = x_n + 2x_{n - 1} <br />\]<br /><br />$ , $TEX: \[<br />y_0 = 3<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />y_1 = 4<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />y_{n + 1} = y_n + 2y_{n - 1} <br />\]<br />$ . Pruebe que los conjuntos $TEX: \[<br />\left\{ {x_n :n \geqslant 0} \right\}<br />\]$ y $TEX: \[<br />\left\{ {y_n :n \geqslant 0} \right\}<br />\]<br />$ son disjuntos. Problema 5. Se tienen dos circunferencias $TEX: \[<br />C_1 <br />\]$ y $TEX: \[<br />C_2 <br />\]<br />$ tangentes (externamente) entre sí y tangentes a una recta $TEX: $L$$ (por el mismo lado). Desde el punto P de mayor altura (respecto a $TEX: $L$$ ) en $TEX: \[<br />C_1 <br />\]$ se traza la tangente "superior" $TEX: $PQ$$ a $TEX: \[<br />C_2 <br />\]<br />$ : vea la figura. Pruebe que la longitud de $TEX: $PQ$$ es igual al diametro de $TEX: \[<br />C_1 <br />\]<br />$ asd222222.PNG ( 11.04k ) Número de descargas: 13 Problema 6. En cada casilla de un tablero $TEX: \[<br />n \times n<br />\]<br />$ se tiene una ampolleta. Ademas, se cuenta con $TEX: $2n$$ interruptores. Para cada fila existe un interruptor que, al ser presionado, cambia el estado de las ampolletas de dicha fila (las que estaban encendidas se apagan, y las que estan apagadas se encienden). Para cada columna se cuenta tambien con un interruptor que cambia el estado de las ampolletas en ella. Usando estos interruptores, ¿es siempre posible llegar, a partir de cualquier estado inicial, a un estado en el cual el numero de ampolletas encendidas en cada fila o columna es menor o igual al de ampolletas apagadas en dicha fila o columna? --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:12 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(CyedqD @ Aug 23 2008, 09:11 PM) Problema 4. Se definen las sucesiones $TEX: \[<br />x_n <br />\]$ , $TEX: \[<br />y_n <br />\]<br />$ mediante las siguientes reglas $TEX: \[<br />x_0 = 2<br />\]$ , $TEX: \[<br />x_1 = 5<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />x_{n + 1} = x_n + 2x_{n - 1} <br />\]<br /><br />$ , $TEX: \[<br />y_0 = 3<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />y_1 = 4<br />\]<br />$ , $TEX: \[<br />y_{n + 1} = y_n + 2y_{n - 1} <br />\]<br />$ . Pruebe que los conjuntos $TEX: \[<br />\left\{ {x_n :n \geqslant 0} \right\}<br />\]$ y $TEX: \[<br />\left\{ {y_n :n \geqslant 0} \right\}<br />\]<br />$ son disjuntos. Solución al problema 4 $TEX: \noindent Veamos que $x_0=2, x_1=5, x_2=9, x_3=19, \ldots$. Como $x_{n+1}=x_n+2x_{n-1}\Rightarrow{x_{n+1}-x_n}=2x_{n-1}$, por lo que $x_{n+1}$ y $x_n$ tienen la misma paridad, con $n\ge{1}$ (la recurrencia se define desde $n=1$). Por lo tanto $x_j$ siempre es impar, con $j\ge{1}$.\\<br /><br />\noindent Veamos que $y_0=3, y_1=4, y_2=10, y_3=18, \ldots$. Como $y_{n+1}=y_n+2y_{n-1}\Rightarrow{y_{n+1}-y_n}=2y_{n-1}$, por lo que $y_{n+1}$ y $y_n$ tienen la misma paridad, con $n\ge{1}$ (la recurrencia se define desde $n=1$). Por lo tanto $y_k$ es siempre par, con $k\ge{1}$.\\<br /><br />\noindent De este modo, los $x_j$ son impares, con $j\ge{1}$, y los $y_k$ son pares $(k\ge{1})$; y ya que $x_0\neq{y_0}$, los conjuntos $\{x_n:n\ge{0}\}$ y $\{y_n:n\ge{0}\}$ no tienen elementos en com\'un, como se ped\'ia $\blacksquare$$ Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:35 PM Publicado: #3
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P5 Denotemos como es usual con $TEX: $O_1$$ y $TEX: $O_2$$ a los centros de la circunferencias y como $TEX: $M$$ y $TEX: $U$$ las tangencias de $TEX: $C_1$$ y $TEX: $C_2$$ a $TEX: $L$$ respectivamente. Sean $TEX: $K$$ y $TEX: $T$$ las proyecciones ortogonales de $TEX: $O_1$$ y $TEX: $P$$ sobre $TEX: $O_2U$$ . Dibujo.PNG ( 23.51k ) Número de descargas: 9 La mayor altura sobre $TEX: $L$$ corresponde al diametro de $TEX: $C_1$$ que llamaremos $TEX: $2r$$ . Es decir $TEX: $PM=2r$$ y $TEX: $PO_1 = O_1M=r$$ . Siendo $TEX: $O_2U=2R$$ , por Pitagoras tenemos: $TEX: \[<br />\left( {O_1 O_2 } \right)^2 - \left( {O_2 T} \right)^2 = \left( {O_1 T} \right)^2 \Rightarrow \left( {R + r} \right)^2 - \left( {R - r} \right)^2 = \left( {O_1 T} \right)^2 \Rightarrow 2\sqrt {Rr} = O_1 T<br />\]<br />$ Luego notamos que $TEX: \[<br />O_1 T = PK<br />\]<br />$ por ser perpendiculares a $TEX: $O_2U$$ Nuevamente por Pitagoras: $TEX: \[<br />\left( {O_2 K} \right)^2 + \left( {PK} \right)^2 = \left( {O_2 P} \right)^2 \Rightarrow \left( {R - 2r} \right)^2 + \left( {2\sqrt {Rr} } \right)^2 = \left( {O_2 P} \right)^2 \Rightarrow \sqrt {4r^2 + R^2 } = O_2 P<br />\]<br />$ Finalmente, usando otra vez Pitagoras obtenemos: $TEX: \[<br />\left( {O_2 P} \right)^2 - \left( {O_2 Q} \right)^2 = \left( {QP} \right)^2 \Rightarrow \left( {\sqrt {4r^2 + R^2 } } \right)^2 - \left( R \right)^2 = \left( {QP} \right)^2 \Rightarrow QP = 2r<br />\]$ Demostrando lo pedido. --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:41 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(CyedqD @ Aug 23 2008, 09:11 PM) Problema 1. Se tienen 680 naranjas apiladas en una pirámide triangular. ¿Cuantas naranjas hay en la base de la pirámide? Solución al problema 1 $TEX: \noindent En la cumbre de la pir\'amide (capa $1$), hay una naranja, en la siguiente capa (capa $2$) hay $1+2=3$ naranjas, en la tercera capa hay $1+2+3=6$ naranjas, $\ldots$, en la capa $n$ hay $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ naranjas. Esto ya que cada capa es un tri\'angulo formado por naranjas, es decir, la capa $n$ est\'a formada por el en\'esimo n\'umero triangular (de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$).\\<br /><br />\noindent As\'i, si la pir\'amide de $680$ naranjas tiene $n$ capas, tenemos lo siguiente:<br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{i(i+1)}{2}=680$$<br />$$\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)}{2}=680$$<br />$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}i^2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1360$$<br />$$\displaystyle{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}}=1360$$<br />$$n^3+3n^2+2n-4080=0$$<br />$$\boxed{(n-15)(n^2+18n+272)=0}\ (i)$$$ $TEX: \noindent Entonces $n_1=15$ es una ra\'iz de la ecuaci\'on $(i)$; descartamos las otras ra\'ices, pues claramente son complejas. As\'i, tenemos que $n=15$, y en esta capa, que corresponde a la base de la pir\'amide, hay $\frac{15\cdot{16}}{2}=120$ naranjas $\blacksquare$$ Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:44 PM Publicado: #5
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Aug 23 2008, 10:31 PM) Solución al problema 1 $TEX: \noindent En la cumbre de la pir\'amide (capa $1$), hay una naranja, en la siguiente capa (capa $2$) hay $1+2=3$ naranjas, en la tercera capa hay $1+2+3=6$ naranjas, $\ldots$, en la capa $n$ hay $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ naranjas. Esto ya que cada capa es un tri\'angulo formado por naranjas, es decir, la capa $n$ est\'a formada por el en\'esimo n\'umero triangular (de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$).\\<br /><br />\noindent As\'i, si la pir\'amide de $680$ naranjas tiene $n$ capas, tenemos lo siguiente:<br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{n(n+1)}{2}=680$$<br />$$\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(n^2+n)}{2}=680$$<br />$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}n^2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}n=1360$$<br />$$\displaystyle{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}}=1360$$<br />$$n^3+3n^2+2n-4080=0$$<br />$$\boxed{(n-15)(n^2+18n+272)=0}\ (i)$$$ $TEX: \noindent Entonces $n_1=15$ es una ra\'iz de la ecuaci\'on $(i)$; descartamos las otras ra\'ices, pues claramente son complejas. As\'i, tenemos que $n=15$, y en esta capa, que corresponde a la base de la pir\'amide, hay $\frac{15\cdot{16}}{2}=120$ naranjas $\blacksquare$$ Saludos. eee lo hice igual , solo que factorizando llegue a n(n+1)(n+2)=4080=151617, y de ahi era facil notar que la unica solucion entera . --------------------

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:47 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent P5.\\<br />Notar que $PA\bot AB$, $O_2B\bot B$ porque las tangentes son perpendiculares a los radios. Entonces $\angle AO_1T+\angle BO_2T=180$. Como $\angle O_1AT=\angle O_1TA$ y $\angle TO_2B=\angle TBO_2$ entonces $\angle ATB=90$ y como $\angle *=90$ entonces $P.T,B$ son colineales. Por euclides $PA^2=PT\cdot PB$ y por potencia de $P$ respecto de $C_2$ tenemos $PQ^2=PT\cdot PB$ por lo que $PQ=AP$.$ Mensaje modificado por pelao_malo** el Aug 23 2008, 10:57 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Gago Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:49 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 171 Registrado: 13-May 07 Desde: Viña del Mar Miembro Nº: 5.820 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Cuándo dicen los resultados? -------------------- Saludos "El secreto de la felicidad no es hacer siempre lo que se quiere sino querer siempre lo que se hace" Tolstoi

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:51 PM Publicado: #8
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gago @ Aug 23 2008, 09:39 PM) Cuándo dicen los resultados? Falta muuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuucho xD CITA(CyedqD @ Aug 23 2008, 08:11 PM) Problema 6. En cada casilla de un tablero $TEX: \[<br />n \times n<br />\]<br />$ se tiene una ampolleta. Ademas, se cuenta con $TEX: $2n$$ interruptores. Para cada fila existe un interruptor que, al ser presionado, cambia el estado de las ampolletas de dicha fila (las que estaban encendidas se apagan, y las que estan apagadas se encienden). Para cada columna se cuenta tambien con un interruptor que cambia el estado de las ampolletas en ella. Usando estos interruptores, ¿es siempre posible llegar, a partir de cualquier estado inicial, a un estado en el cual el numero de ampolletas encendidas en cada fila o columna es menor o igual al de ampolletas apagadas en dicha fila o columna? Algunos Hints para la que podria ser la Pregunta mas simpatica de esta Clasificación. La cantidad de modificaciones realizables al tablero es finita. Existe una configuracion que presenta el menor número de ampolletas prendidas. Demostrar que esa configuracion cumple las condiciones del problema. La verdad la Solución son unas breves lineas, pero la idea de interpretar el problema "de otra forma" era lo que me gusto de esta pregunta. La Pregunta 3 tambien la encontre interesante (aunque quizas los del Nivel Menor ni entendieron el Enunciado, quizas ahi se les paso la mano). En resumen, una Clasificación mas simple de lo acostumbrado, entretenida, y motivante para los que estan participando por 1era vez, en lo que hoy en dia es La Olimpiada mas Importante del Pais. Mis Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:52 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA $TEX: $$\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)}{2}=680$$<br />$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}i^2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1360$$<br />$ *** no se me ocurrio, lo deje hasta ahi no mas, mas me falto tiempo

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2008, 09:54 PM Publicado: #10
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Aug 23 2008, 10:37 PM) $TEX: \noindent P5.\\<br />Notar que $PA\bot AB$, $O_2B\bot B$ porque las tangentes son perpendiculares a los radios. Entonces $\angle AO_1T+\angle BO_2T=180$. Como $\angle O_1AT=\angle O_1TA$ y $\angle TO_2B=\angle BO_2T$ entonces $\angle ATB=90$ y como $\angle **=90$ entonces $P.T,B$ son colineales. Por euclides $PA^2=PT\cdot PB$ y por potencia de $P$ respecto de $C_2$ tenemos $PQ^2=PT\cdot PB$ por lo que $PQ=AP$.$ Hermosa solución pelao, te felicito . Hice la misma de CyedqD , a fuerza bruta pero igual sale =D. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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