 Propuesto Especial 21, Dificultad intermedia |
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 Sep 2 2008, 01:08 AM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Sea
![TEX: $$f \in C\left( {\left[ {a,b} \right] \times \left[ {1, - 1} \right]} \right)$$](./tex/e7bff521e36e6efb276b7805d332e929.png) .Probar que  .
-------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.
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Apr 16 2022, 11:29 PM
Publicado:
#2
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo: |
-------------------- Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP. |
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![TEX: Definamos los números enteros $m = \lfloor \frac{\xi a}{2\pi}\rfloor +1$ y $M = \lfloor \frac{\xi b}{2\pi}\rfloor$. Luego, podemos hacer la siguiente partición de la integral <br />\begin{eqnarray*}<br /> I(\xi) = \int_a^b f(x,\sin(\xi x))dx &=& \frac{1}{\xi}\int_{a\xi}^{2\pi m} f(x/\xi,\sin(x))dx + \frac{1}{\xi}\int_{2\pi M}^{b\xi} f(x/\xi,\sin(x))dx\\<br />& & + \frac{1}{\xi}\sum_{k=m}^{M-1}\int_{2\pi k}^{2\pi(k+1)} f(x/\xi,\sin(x))dx\\<br />\end{eqnarray*}<br /> Las dos primeras integrales convergen a 0 cuando $\xi\to\infty$ pues $f$ es acotada y el intervalo de integración está acotado por $b-a$. Como $\sin$ es $2\pi$-periódica, se tiene que<br />\begin{eqnarray*}<br /> \frac{1}{\xi}\sum_{k=m}^{M-1}\int_{2\pi k}^{2\pi(k+1)} f(x/\xi,\sin(x))dx &=& \int_{0}^{2\pi}\underbrace{\frac{1}{\xi}\sum_{k=m}^{M-1} f((x + 2k\pi)/\xi,\sin(x))}_{S_\xi(x)}dx<br />\end{eqnarray*}<br />Vemos que para $x\in [0,2\pi]$, $$\mathcal{P}_\xi = \{ x_k=(x + 2k\pi)/\xi: k=m,...,M-1 \}\cup\{a,b\}$$ forma una partición del intervalo $[a,b]$ y vemos que $x_{k+1}-x_k = \frac{2\pi}{\xi}$ para todo $k$, además, $x_m-a = \frac{x+2m\pi-a}{\xi}\leq \frac{x+2\pi(\frac{\xi a}{2\pi}+2)-a}{\xi} = \frac{x+4\pi}{\xi}$ y $b-X_{M-1} = \frac{\xi b-x-2\pi(M-1)}{\xi}\leq \frac{\xi b-x-2\pi(\frac{\xi b}{2\pi}-2)}{\xi}=\frac{4\pi-x}{\xi}$, luego la norma de la partición $\mathcal{P}_\xi$ está acotada por $\frac{x+4\pi}{\xi}$, que converge a 0 cuando $\xi\to\infty$, además vemos que (definimos $x_{m-1} = a$ y $X_M = b$)<br />\begin{eqnarray*}<br />S_\xi(x) &=& \frac{1}{2\pi}\sum_{k=m-1}^{M-1} (x_{k+1}-x_k)f(x_k,\sin(x))\\<br />& & + \frac{1-\xi b+x+2\pi(M-1)}{\xi}f(x_{M-1},\sin(x)) +\frac{a-x-2m\pi}{\xi}f(a,\sin x)<br />\end{eqnarray*}<br />La primera suma es una suma de Riemann que converge a $\frac{1}{2\pi}\int_a^b f(t,\sin(x))dt$ cuando $\xi\to\infty$, los otros dos términos convergen a 0 pues $f$ es acotada. Luego, $S_\xi(x)\to\frac{1}{2\pi}\int_a^b f(t,\sin(x))dt$ cuando $\xi\to\infty$. Lo ultimo, es notar que si $|f|$ está acotada superiormente por $C>0$, entonces $|S_\xi(x)|\leq \frac{C}{\xi}(M-m)\leq \frac{C}{\xi}(\frac{\xi b}{2\pi} - \frac{\xi a}{2\pi}) = \frac{C}{2\pi}(b-a)$, luego por el Teorema de Convergencia dominada se tiene que $\lim_{\xi\to\infty}I(\xi) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_a^b f(t,\sin (x))dtdx$ para finalmente concluir por Fubini.<br />](/tex-image/1cca657658da654a059705a885bea7f3.png)
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