Guía de ejercicios de series Matemáticas II - Foro fmat.cl

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Guía de ejercicios de series Matemáticas II, incluye el primer PDF con los ejercicios [En progreso...]

LEAC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 25 2008, 02:44 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT 2 Mensajes: 398 Registrado: 13-May 06 Miembro Nº: 1.090 Universidad:	Hola a todos los bachilleres y visitantes... Dejo la guía de series acá para resolver los ejercicios y aprender a usar un poco mejor $TEX: \LaTeX$ , iré añadiendo las soluciones que entreguen a medida que las posteen en este mismo tema, la idea es ir creando un solo documento con las soluciones que acá se den de los ejercicios. Adjunto el primer PDF generado con los aportes de gonzalo182 y naxoobkn Saludos! *Sujeto a revisón, sólo es la versión alpha, en caso de cualquier cosa vía MP.* Subido el 28 de Octubre a las 21:35. 1.pdf ( 98.07k ) Número de descargas: 347 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicios $TEX: <br />\begin{center}<br />\textbf{Guía de Ejercicios Matemáticas II}<br />\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Para las siguientes series de potencias encuentre el intervalo de convergencia.<br />\item[]$a)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n(x-1)^n$<br />\item[]$b)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^n$<br />\item[]$c)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n^n}$<br />\item[]$d)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$, donde $a_{2n}=0, \ a_{2n+1}=(-1)^n$<br />\item[]$e)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^n}{n}x^n$<br />\item[]$f)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$, donde $a_{2n+1=0,\ a_{2n=(-1)^n}}$<br />\item[]$g)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n}x^n$ donde $a_{2n=0}, \ a_{2n+1}=(-1)^n$<br />\item[]$h)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}x^n$<br />\item Si $\sum a_nx^n$ converge en $(-R,R)$, entonces pruebe que $\sum na_nx^n$ converge en $(-R,R)$.<br />\item Suponga que dos series $\sum a_nx^n$, $\sum b_nx^n$, coinciden en un intervalo abierto de 0, muestre que $a_n=b_n \forall \ n \in \mathbb{N}$.<br />\item ¿Es cierto que $$ln(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}?$$<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[5.] Calcule la octava derivada de la tangente en cero<br />\item[6.] Encuentre series de potencias y radios de convergencias que representen a las siguientes funciones.<br />\item[] $a)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=sen(x)cos(x)$.<br />\item[] $b)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por<br />$$\begin{gathered} f(x)\left\{ \begin{gathered}\frac{{sin(x)}}{x}{\text{}}{\text{, $x$}} \ne {\text{0}} \hfill \\ {\text{1 }}{\text{, $x$ = 0}} \end{gathered} \right. \end{gathered}$$<br />\item[] $c)$ $f:\mathbb{R}-\left\{-1,1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$.<br />\item[] $g)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=senh(x)$.<br />\item[] $h)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=cosh(x)$.<br />\item[7.]¿Cuál es el grado del polinomio de Taylor de la función exponencial que permite aproximar a $e$ con un error menor a $10^{-5}$? <br />\item[8.] ¿Es cierto que $$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}?$$<br />\item[9.] Con un error menor a $10^{-3}$ calcule la integral $$\int_0^1e^{-x^2}.$$<br />\item[10.] ¿Existe un polinomio $p(x)$ que en algún vecindario en torno a $0$ sea tal que $p(x)=sin(x)$?<br />\end{enumerate}$ $TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item[11.] ¿Existe un polinomio $p(x)$ que en algún vecindario en torno a $0$ sea tal que $p(x)=sen(x)$? <br />\item[12.] Muestre que la serie $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^nn!}{n^n}$ converge en $(-e,\ e)$ <br />\item[13.] Suponga que una función que es igual a su serie de Taylor, en todo $\mathbb{R}$, digamos <br />$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_nx^n$$ <br />satisface la igualdad $f'(x)-f(x)=e^x$ y además $f(0)=1$<br />\item[] $a)$ Demuestre que $a_0=1$<br />\item[] $b)$ Demuestre que $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}na_nx^{n-1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$<br />\item[] $c)$ Demuestre que se tiene la siguiente relación de recurrencia $$a_n=\frac{a_{n-1}}{n}+\frac{1}{n!}$$<br />\item[] $d)$ Como $a_0=1$, calcule $a_2$, $a_3$<br />\item[] $e)$ Demuestre que $a_n=\frac{1}{(n-1)!}$ para todo $n \in \mathbb{N}$<br />\item[] $f)$ Diga explícitamente cuál es la función $f$<br />\end{enumerate}$ Algo de materia Cálculo Diferencial e Integral de N. Piskunov ¡ CONTENIDO OCULTO BLOQUEADO ! Identifícate o Registrate para desbloquearlo. Mensaje modificado por LEAC el Nov 5 2008, 08:47 PM

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2008, 01:10 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	LEAC, ooo un milagro verlo por estos lados!! $TEX: <br />ejercicio 1 - a<br />$ $TEX: $$\sum_{n=0}^{\infty}n(x-1)^n$$$ Usamos el criterios del cuociente: $TEX: <br />$$\frac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|} = \frac{\|n+1(x-1)^{n+1}\|}{\|n(x-1)^n\|}$$$ < 1 despejamos: $TEX: <br />$$\|(x-1)\|n$$$ < 1 -1< x-1 <1 /+1 0< x < 2 $TEX: por lo tanto el radio de convergencia de la funcion es: (0,2)$ Aunque falta determinar sus extremos!! casi todos estos ejercicios de la primera parte se realizan de la misma manera!! saludos! -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

LEAC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 11:30 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT 2 Mensajes: 398 Registrado: 13-May 06 Miembro Nº: 1.090 Universidad:	Lo mismo pero en un solo .tex $TEX: <br />1.a $$\sum_{n=0}^{\infty}n(x-1)^n$$<br /><br />Por Criterios del cuociente:<br /><br />$$\frac{\left\|a_{\left(n+1)\right)}\right\|}{\left\|a_n\right\|}=\frac{\left\|n+1(x-1)^{n+1}\right\|}{\left\|n(x-1)^n\right\|}<1$$<br />Despejamos:<br />$$\|(x-1)\|n< 1$$<br /> <br />$$-1< x-1 <\left.1\right/+1$$<br />$$0< x < 2$$<br /><br />Por lo tanto el radio de convergencia de la funcion es: $(0,2)$\\<br /><br />Aunque falta determinar sus extremos!!<br />$ Mensaje modificado por LEAC el Nov 5 2008, 08:48 PM

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 12:33 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$ es cierto???<br /><br />$$ln(x)=\int\frac{1}{x}=\int\frac{1}{x+1-1}$$<br /><br />$$\int\frac{1}{1-(1-x)}=\int\sum_{0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$$<br /><br />$$\sum_{n=0}^{\infty}\int (-1)^n(x-1)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^{n+1}}{n} $$<br /><br />elavuando X=2<br /><br />$$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(1)^{n+1}}{n}$$<br />$$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$<br /><br />Por lo tanto, queda demostrado que $$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$<br />$ Ejercicio malo, ignorenlo!! Mensaje modificado por gonzalo182 el Oct 29 2008, 11:33 AM -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

Lican Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 01:15 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	gonzalo, podrias explicar un poco ese paso de integral a integral sumatoria?

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 02:09 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Lican @ Oct 28 2008, 01:15 PM) gonzalo, podrias explicar un poco ese paso de integral a integral sumatoria? $TEX: <br /><br />pasa que $$\int\frac{1}{1-(1-x)}$$ sin cosiderar la $\int$, se puede ver como el resultado de una serie geometrica $$\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}$$ siempre que $\|x\| < 1$. Por lo tanto podemos decir que r=1-x, por lo que obtendremos lo indicado$ _______ Enviame tu correo para enviarte eso! saludos! -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

LEAC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 06:19 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT 2 Mensajes: 398 Registrado: 13-May 06 Miembro Nº: 1.090 Universidad:	CITA(gonzalo182 @ Oct 28 2008, 12:33 PM) $TEX: $$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$$ es cierto???<br /><br />$$ln(x)=\int\frac{1}{x}=\int\frac{1}{x+1-1}$$<br /><br />$$\int\frac{1}{1-(1-x)}=\int\sum_{0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$$<br /><br />$$\sum_{n=0}^{\infty}\int (-1)^n(x-1)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^{n+1}}{n} $$<br /><br />elavuando X=2<br /><br />$$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(1)^{n+1}}{n}$$<br />$$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$<br /><br />Por lo tanto, queda demostrado que $$ln(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$$<br />$ Ejercicio agregado, se agradecen los aportes. El Segundo PDF (con los links a los ejercicios) está publicado. Saludos!

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 06:44 PM Publicado: #8
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gonzalo182 @ Oct 28 2008, 03:09 PM) $TEX: <br /><br />pasa que $$\int\frac{1}{1-(1-x)}$$ sin cosiderar la $\int$, se puede ver como el resultado de una serie geometrica $$\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}$$ siempre que $\|x\| < 1$. Por lo tanto podemos decir que r=1-x, por lo que obtendremos lo indicado$ _______ Enviame tu correo para enviarte eso! saludos! yo creo que se refiere del segundo al tercer paso, no queda muy claro... o yo no lo entendi aunque cometiste unos erres de tipeo, aparecen muchos "2n" por ahi $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> P.D:\log \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}<br />{n}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Se sabe que:}} \hfill \\<br /> \log (x + 1) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{n + 1} }}<br />{{n + 1}}} \Rightarrow \log \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}<br />{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 2} }}<br />{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}<br />{n}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Es facil demostrar que esa serie corresponde a la funcion del logaritmo (para X entre -1 y 1), asi que si alguien quiere que la suba, solo postee -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

LEAC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 07:22 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT 2 Mensajes: 398 Registrado: 13-May 06 Miembro Nº: 1.090 Universidad:	CITA(naxoobkn @ Oct 28 2008, 06:44 PM) yo creo que se refiere del segundo al tercer paso, no queda muy claro... o yo no lo entendi aunque cometiste unos erres de tipeo, aparecen muchos "2n" por ahi $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> P.D:\log \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}<br />{n}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Se sabe que:}} \hfill \\<br /> \log (x + 1) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{n + 1} }}<br />{{n + 1}}} \Rightarrow \log \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}<br />{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 2} }}<br />{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}<br />{n}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Es facil demostrar que esa serie corresponde a la funcion del logaritmo (para X entre -1 y 1), asi que si alguien quiere que la suba, solo postee Vamos a corregir entonces... La solución al problema 8 ya estaba posteada $TEX: ¿Es cierto que $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$?$ $TEX: Solución:<br />\begin{eqnarray}<br />\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}&=&\sum_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\int_0^1x^{2k}dx\right)\\<br />&=&\int_0^1\left(\sum_{k=0}^\infty\left((-x)^2\right)^k\right)dx\\<br />&=&\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\\<br />&=&\frac{\pi}{4}<br />\end{eqnarray}<br />$ PD: Naxo aprende a usar TeXnicCenter

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 07:38 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(naxoobkn @ Oct 28 2008, 08:44 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> P.D:\log \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}<br />{n}}<br />\end{gathered} <br />\]<br />$ También bastaba con notar que $TEX: $$\frac1n=\int_0^1 x^{n-1}\,dx.$$$

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