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[Función parte entera] Parte entera de un número [x]

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 08:02 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textsf{\Large{Función parte entera - Parte entera de un número [x].}}\\<br />\hfill\\<br />\hfill\\<br />Sea $f(x)=[x]$, con $x\in \mathbb{R}\Big\| f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R},$ es la función parte entera. En donde $A=\mathbb{R},$\vspace{2.0mm} $B=\mathbb{R},$ el recorrido de $f$ es $\mathcal{R}ec(f)=\mathbb{Z}.$ Una de sus ca-\\racterísticas más notables es que esta función es discontinua, debido a que presenta saltos y/o separaciones en su gráfica.\\<br />\hfill\\<br />Gráfica:\\<br />$ $TEX: \noindent {\textbf{Observaciones:}} La función parte entera no es inyectiva ni sobreyectiva. No es par ni impar. Sus ceros son todo $\mathbb{R}$ en el intervalo $[0,1[$. Además es una función creciente, pero no de forma estricta.\\<br />\hfill\\<br />Esta función se puede subdividir en función piso $\lfloor .\rfloor$ y función techo $\lceil . \rceil$.\\<br />\hfill\\<br />\underline{{\textbf{Función piso:}}} Se caracteriza por aproximarse al menor entero, dentro de $\lfloor x \rfloor$, ejemplo, si $x=1,065,$ entonces; $\lfloor 1,065 \rfloor =1.$\\<br />\hfill\\<br />\underline{{\textbf{Función techo:}}} Se caracteriza por aproximarse al entero mayor, dentro de $\lceil x \rceil,$ ejemplo, si $x=9,111,$ entonces; $\lceil 9,111 \rceil =10.$\\<br />\hfill\\<br />Notese que si $x\in \mathbb{Z},$ se tiene que: $\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]=x,$ si $x$ no es entero ocurre que: $\lfloor x\rfloor <x<\lceil x\rceil=\lfloor x\rfloor +1$. Una última relación entre piso y techo es que se verifica que $\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor,$ que es demostrable.\\<br />\hfill\\<br />La función parte entera acepta las siguientes notaciones: $\mathcal{E}(x), [x], \lfloor x\rfloor$.\\<br />\hfill\\<br />Esta función cumple una propiedad importante, y es que por su definición, $[x]$ es el mayor número entero que no sobrepasa $x$, es decir $[x]\le x$. Por otro lado, como $[x]$ es el mayor número entero que cumple esta desigualdad, entonces: $[x]+1>x$, y de aquí no es difícil concluir que $[x]$ es el número entero que cumple la desigualdad compuesta dada por $[x]\le x<[x]+1$. Si $[x]=n$ con $n\in \mathbb{Z},$ entonces: $n\le [x]<n+1\Longrightarrow [x]\in [n,n+1[.$\\<br />\hfill\\<br />Análogamente, de esta última propiedad se desprenden las siguientes propiedades para $x\in \mathbb{R}$, que son equivalentes.\\<br />$ $TEX: \noindent \begin{eqnarray}<br />x-1<&[x]&\le x\\<br />0\le & x-[x]&<1\\<br />-x-1<&[-x]&\le -x\\<br />\end{eqnarray}<br />{\textbf{\underline{Propiedades:}}}\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm}Si $m\in \mathbb{Z},$ entonces se verifica que: $[x+m]=[x]+m$.\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} Para $x,y\in \mathbb{R}$ se cumplen las siguientes desigualdades.\\<br />\hfill\\<br />$[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1$\\<br />\hfill\\<br />$[x-y]\le [x]-[y]\le [x-y]+1$\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} Si $m\in \mathbb{N}$ y $x\in \mathbb{R},$ entonces: $\Bigg[ \dfrac{[x]}{m} \Bigg ]=\Bigg[ \dfrac xm \Bigg]$. Aquí podemos extender una nueva propiedad, si $x,y \in \mathbb{Z},$ con $x=qy+r, 0\le r<y,$ entonces: $\Bigg[ \dfrac{x}{y}\Bigg]=q,$ que nos servirá para llegar a la siguiente igualdad:\\<br />\hfill\\<br />$\Bigg[\dfrac{[x]}{m}\Bigg]=\Bigg[\dfrac nm\Bigg]=\Bigg[q+\dfrac rm\Bigg]=q,$ con $r<m.$\\<br />\hfill\\<br />La demostración de esto último se deja a cargo del atento lector.\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} $[x]\cdot [y]\le [x\cdot y]$.\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} $\Bigg[x+\dfrac 12 \Bigg],$ que es el entero más próximo a $x$, esta expresión permite calcular un redondeo usual de la función.\\<br />\hfill\\<br />{\textbf{Observación:}} Si dos enteros son igualmente próximos a $x$, se conviene en que es el mayor de los dos.\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} $x-[x]$ , es la parte decimal o mantisa de $x$. Notación: $\{x\}.$\\<br />$ $TEX: \noindent $\bullet$ \hspace{1.5mm} Si $n_1,n_2,n_3,...$ (en número finito), son enteros cualesquiera cuya suma es $s$ y $a$ es cualquier número entero, entonces:\\<br />\hfill\\<br />$\Bigg[\dfrac sa\Bigg]\ge \Bigg[\dfrac{n_1}{a}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{n_2}{a}\Bigg]+\cdots$ (la suma es finita).\\<br />\hfill\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} {\textbf{Máxima potencia de un primo que divide a un factorial:}} Si $p$ es un número primo, y $p^{k}$ es la mayor potencia de $p$ que divide a $n!$, entonces el valor del exponente $k$ se puede calcular mediante:\\<br />\hfill\\<br />$k=\Bigg[\dfrac np\Bigg]+\Bigg[\dfrac{n}{p^2}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{n}{p^3}\Bigg]+\cdots$\\<br />\hfill\\<br />\hfill\\<br />En efecto, la suma es finita porque alguna potencia de $p$ es mayor que $n$ y a partir de ese momento los términos de la suma son $0$ y además de los números $1,2,\cdots , n$, hay $\Bigg[\dfrac np \Bigg]$ que son divisibles por $p$, hay $\Bigg[\dfrac{n}{p^2}\Bigg]$ que son divisibles por $p^2$, y así sucesivamente.\\<br />\hfill\\<br />La propiedad del punto 3 acorta el trabajo para calcular el mayor exponente de un primo $p$ en $n!$, ejemplo:\\<br />\hfill\\<br />$\Bigg[\dfrac{400}{5}\Bigg]=80, \Bigg[\dfrac{80}{5}\Bigg]=16, \Bigg[\dfrac{16}{5}\Bigg]=3.$ Luego $80+16+3=99$, que son los ceros en que termina $400!.$\\<br />\hfill\\<br />\hfill\\<br />$\bullet$ \hspace{1.5mm} Si $n,k,r\in \mathbb{Z^{+}},$ con $r\le k-1,$ entonces:\\<br />\hfill\\<br />$\Bigg[\dfrac nk\Bigg]$ es el número de múltiplos positivos de $k$ que son menores o iguales que $n$. Del mismo modo, $\Bigg[\dfrac{n+r}{k}\Bigg]$ es el número de enteros positivos menores$ $TEX: \noindent o iguales que $n$, que dan resto $k-r$ al ser divididos por $k$. Ejemplo: $\Bigg[\dfrac{41}{10}\Bigg]=4,$ número de enteros menores o iguales que 37 que dan resto 6 al ser divididos por 10.\\<br />\hfill\\<br />La función parte entera permite calcular el truncamiento de un real a cualquier orden mediante la fórmula: $\dfrac{[(10)^n\cdot x]}{(10)^n}$.\\<br />\hfill\\<br />El entero $n$ es el número de decimales que se conservan, es decir que la presición es de $10^{-n}.$\\<br />\hfill\\<br />Para el cálculo general de la parte entera de un número $x$, se tiene que siempre se apróxima al menor entero.\\ Si $[-3,1]=-4 \because -4\le -3,1<\underbrace{-4+1}_{=-3}\Longrightarrow -3,1\ge -4\wedge -3,1<-3$.\\<br />\hfill\\ <br />Análogamente, si $x=9,091$, luego $[9,091]=9 \because 9\le 9,091<9,091+1\\ \Longrightarrow 9\le 9,091<10,091\Longrightarrow 9,091\ge 9\wedge 9,091<10,091.$\\<br />$ PD: Saludos, espero que le sirva a alguien. Mensaje modificado por julio el Jan 18 2009, 03:03 PM -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2010, 09:48 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	se agradece -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2011, 03:00 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y pensar que en PSU te hacen mirar tan a huevo esta función. Mish -------------------- Me voy, me jui.

Anibal Libano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 6 2012, 10:34 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 18-December 11 Desde: Quilpué City, V región Miembro Nº: 99.373 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Esto no la habia visto, me apunto algunas cosas de las propiedades. Gracias.

haytawer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 27 2012, 12:09 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 15-March 12 Miembro Nº: 102.416 Nacionalidad: Sexo:	Claramente sirve de mucho xD...muchas gracias! -------------------- :link: :otro: $TEX: $\digamma$$ "La manera usual para enseñar al alumno cómo hacer demostraciones en matemáticas es similar a mostrarle cómo un gimnasta hace un triple salto mortal. Le mostramos al gimnasta ejecutándolo y luego le pedimos al alumno que realice el triple salto mortal ... si acaso sobrevive, seguramente no volverá a intentarlo. No obstante, el alumno sí puede platicar lo que vio realizar al gimnasta, y de la misma forma puede reproducir una demostración." Adivina ya te opina, ya ni miles origina, ya ni cetro me domina, ya ni monarcas, a repaso ni mulato carreta, acaso nicotina, ya ni cita vecino, anima cocina, pedazo gallina, cedazo terso nos retoza de canilla goza, de pánico camina, ónice vaticina, ya ni tocino saca, a terracota luminosa pera, sacra nómina y ánimo de mortecina, ya ni giros elimina, ya ni poeta, ya ni vida. de Ricardo Ochoa Cuando disfrutaba ser el numero 20 de mi generacion haha -------> de 20 claro XD La última cena de los personajes de los 80´s ------> Frases celebres en reparacion <------> cuek: CITA(Expl0it @ Jan 27 2012, 12:26 PM) Todos los preus son malos, el que tiene que ser bueno es uno ajajaja. CITA(Kaissa @ Oct 29 2010, 10:01 AM) $TEX: $ $\\<br />Nada de intuici\'on, en matem\'aticas las definiciones son precisas.\\<br />$ $\\<br />Definimos, para $a,b\in X$ el par ordenado $(a,b)$ como el conjunto $\{a,\{a,b\}\}$, y de esta forma nos aseguramos de que <br />\begin{eqnarray}<br />(a,b)=(x,y)\Longleftrightarrow \{a,\{a,b\}\}=\{x,\{x,y\}\}\Longleftrightarrow a=x\wedge b=y<br />\end{eqnarray}<br />$ Lo que sigue es comentario personal, abra bajo su responsabilidad. $TEX: No es por ser mala onda, pero deverdad me dio risa las definiciones anteriores, no con el animo de reirme de quienes las pusieron, sino de ver la realidad de la educaci\'on chilena, osea gente que se supone ha pasado por esos cursos, que debiera manejar bien la materia tiene una nocion por lo menos pobre de lo que en realidad ha trabajado gran parte de EMedia y 1er y 2do a\~no de universidad.\\<br />$ $\\<br />Espero estar en la definici\'on correcta, y de ser as\'i puchas instar a los lectores que vean la forma de formalizar los conceptos que creen tener, pues sino \verb"¿"c\'omo despu\'es les diremos a los dem\'as \textit{estudien esto y aquello}?$ Algunos celulares que he tenido XD ------> Si te fue mal en la psu ------> haz click aqui Todo calza pollo------>

Legition Rompedi... Legition Rompediskoteqa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 30 2017, 08:48 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo:	hermoso! -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica. From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.

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