El índice de un subgrupo que no es normal

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El índice de un subgrupo que no es normal, Resuelto por rfauffar

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coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 31 2009, 04:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Muestre que si H no es subgrupo normal de G, entonces el número de clases laterales de H en G es al menos 3. Espero que la propuesta sea del agrado de todos. Fuente: mi blog... -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

rfauffar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 25 2009, 11:47 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 94 Registrado: 2-March 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.247 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Bueno como nadie responde.... Demostraremos que si $H$ tiene \'{\i}ndice en $G$ menor que 3, entonces es normal.\\<br /><br />Si hay una clase lateral, trivialmente $H$ es normal. Supongamos que hay dos clases. Entonces existe $g\in G$ tal que $gH\neq H$, y adem\'as $gH\cup H=G$. Esto implica que $gH=G\backslash H$. Por otro lado, como hay una biyecci\'on entre las clases laterales derechas e izquierdas (dada por $xH\mapsto Hx^{-1}$), y como $gH\neq H\Leftrightarrow Hg\neq H$ (por definici\'on casi), se tiene que $Hg\neq H$, y luego como $Hg\cup H= G$, se tiene que $Hg=G\backslash H$. Entonces tenemos que <br />$$G\backslash H=gH=Hg\Rightarrow gHg^{-1}=H,$$<br />y concluimos que $H$ es normal.\begin{flushright}$\Box$\end{flushright}$ Mensaje modificado por rfauffar el Apr 25 2009, 11:50 PM -------------------- Romanos 5:6-8 6 Cuando nosotros los pecadores no podíamos salvarnos, Cristo murió por nosotros ..... 7 En realidad, no es fácil que alguien esté dispuesto a morir en lugar de otra persona, aunque sea buena y honrada. Tal vez podríamos encontrar a alguien que diera su vida por alguna persona realmente buena.8 Pero aunque nosotros todavía éramos pecadores, Dios nos demostró su gran amor al enviar a Jesucristo a morir por nosotros. Efesios 2:8-9 8 Ustedes han sido salvados porque aceptaron el amor de Dios. Ninguno de ustedes se ganó la salvación, sino que Dios se la regaló.9 La salvación de ustedes no es el resultado de sus propios esfuerzos. Por eso nadie puede sentirse orgulloso. Robbie Auffarth Licenciatura en Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2009, 04:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Tu solución es correcta, estimado rfauffar. Gracias por atender a mi propuesto. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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