Una generalización del teorema de Lagrange

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Una generalización del teorema de Lagrange

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Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2009, 12:46 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $$\text{Sean K}\le \text{H}\le \text{G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos}\text{.}$$<br />$ $TEX: $$\text{Probar que (G : K) = (H : K)(G : H)}\text{.}$$<br />$ Mensaje modificado por Sephiroth99 el Jul 3 2009, 12:48 AM -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2009, 11:07 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aunque este es un teorema que aparece enunciado y demostrado en el hungerford posteado por psycostitch en la pagina 39 voy a rehacer la demostración con todo detalle: $TEX: $ $\\<br />Existe $A=\{a_{i}\in G:i\in I\}$ tales que $G=\bigcup_{i\in I}a_{i}H$ (ya que las clases particionan a $G$) y como los elementos de esa uni\'on son todos disjuntos se concluye sin problemas que hay tantas clases como elementos en $I$ (es decir $[G:H]=\|I\|$).\\<br />Usando el mismo razonamiento llegamos a que existe $B=\{b_{j}\in H:j\in J\}$ tales que $H=\bigcup_{j\in J}b_{j}K$, luego $[H:K]=\|J\|$.\\<br />Escribimos entonces $G=\bigcup_{i\in I}a_{i}H=\bigcup_{i\in I}a_{i}\bigcup_{j\in J}b_{j}K=\bigcup_{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}K$.<br />Para poder usar las reglas de cardinalidad debemos probar primero que la unión es disjunta; para ello asumamos que existen $i,j,r,t$ tales que $a_{i}b_{j}=a_{r}b_{t}k$ para un cierto $k\in K$.\\<br />Como $K\subseteq H$ se tiene que $b_{j},b_{t},k\in H$ y por la definición de clases de equivalencia tenemos que $a_{i}H=a_{r}b_{t}kb_{j}^{-1}H=a_{r}H\Longrightarrow i=r$ (porque si $x\in H$ entonces $aH=axH$).\\<br />Nuestra igualdad $a_{i}b_{j}=a_{r}b_{t}k$ ahora se convierte en $b_{j}=b_{t}k$ y como $k\in K$ podemos notar que $b_{j}K=b_{t}kK=b_{t}K\Longrightarrow b_{j}=b_{t}$.\\<br />Esto termina de probar que los $a_{i}b_{j}K$ son todos disjuntos y por tanto hay tantos elementos en la uni\'on como elementos en el conjunto de \'indices que la cuenta.\\<br />Conclusiones:\\<br />1- Hemos hallado que existe $I\times J$ tal que $G:K=\{a_{i}b_{j}K:(i,j)\in I\times J\}$.\\<br />2- Los elementos de el conjunto reci\'en descrito son todos distintos.\\<br />3- $[G:K]=\sharp\{a_{i}b_{j}K:(i,j)\in I\times J\}=\|I\times J\|=\|I\|\times\|J\|=[G:H]\times[H:K]$.\\<br />Q.E.D.<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Jul 8 2009, 11:12 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Gaston Burrull	Jul 9 2009, 09:12 PM Publicado: #3
Invitado	Le mataste el propuesto

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2009, 09:14 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	nada que ver, de hecho la dem que puse es harto distinta a la del libro insisto: aprendi la leccion -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2009, 09:20 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jul 8 2009, 12:07 PM) Aunque este es un teorema que aparece enunciado y demostrado en el hungerford posteado por psycostitch en la pagina 39 voy a rehacer la demostración con todo detalle: $TEX: $ $\\<br />Existe $A=\{a_{i}\in G:i\in I\}$ tales que $G=\bigcup_{i\in I}a_{i}H$ (ya que las clases particionan a $G$) y como los elementos de esa uni\'on son todos disjuntos se concluye sin problemas que hay tantas clases como elementos en $I$ (es decir $[G:H]=\|I\|$).\\<br />Usando el mismo razonamiento llegamos a que existe $B=\{b_{j}\in H:j\in J\}$ tales que $H=\bigcup_{j\in J}b_{j}K$, luego $[H:K]=\|J\|$.\\<br />Escribimos entonces $G=\bigcup_{i\in I}a_{i}H=\bigcup_{i\in I}a_{i}\bigcup_{j\in J}b_{j}K=\bigcup_{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}K$.<br />Para poder usar las reglas de cardinalidad debemos probar primero que la unión es disjunta; para ello asumamos que existen $i,j,r,t$ tales que $a_{i}b_{j}=a_{r}b_{t}k$ para un cierto $k\in K$.\\<br />Como $K\subseteq H$ se tiene que $b_{j},b_{t},k\in H$ y por la definición de clases de equivalencia tenemos que $a_{i}H=a_{r}b_{t}kb_{j}^{-1}H=a_{r}H\Longrightarrow i=r$ (porque si $x\in H$ entonces $aH=axH$).\\<br />Nuestra igualdad $a_{i}b_{j}=a_{r}b_{t}k$ ahora se convierte en $b_{j}=b_{t}k$ y como $k\in K$ podemos notar que $b_{j}K=b_{t}kK=b_{t}K\Longrightarrow b_{j}=b_{t}$.\\<br />Esto termina de probar que los $a_{i}b_{j}K$ son todos disjuntos y por tanto hay tantos elementos en la uni\'on como elementos en el conjunto de \'indices que la cuenta.\\<br />Conclusiones:\\<br />1- Hemos hallado que existe $I\times J$ tal que $G:K=\{a_{i}b_{j}K:(i,j)\in I\times J\}$.\\<br />2- Los elementos de el conjunto reci\'en descrito son todos distintos.\\<br />3- $[G:K]=\sharp\{a_{i}b_{j}K:(i,j)\in I\times J\}=\|I\times J\|=\|I\|\times\|J\|=[G:H]\times[H:K]$.\\<br />Q.E.D.<br />$ Respuesta Correcta No hay para que citar un libro ,siempre lo haces,no se cual es la intencion A fin de cuentas todo esta en un los libros lo que importa son soluciones inteligentes y pensadas Alguien se anima por otra solucion -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2009, 11:48 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	creo que otra forma es con isomorfismos........... -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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