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I2 Análisis Real, 2-2008

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2009, 02:09 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	Prof. Marta García-Huidobro. $TEX: \noindent<br /><br />\begin{center} \bf{Análisis Real, Interrogación N°2} \\ Lunes 6 de Octubre, 2008 \end{center}<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sea $X = \{f: [0,1] \to \mathbb{R} : f$ es diferenciable en $[0,1] \}$, con la métrica $\rho:X \times X \to \mathbb{R}$ definida por $\rho(f,g) = \displaystyle\sup_{x \in [0,1]} \|f(x) - g(x)\|$. Pruebe que $(X, \rho)$ no es completo.<br /><br />\item Sea $(X, d)$ espacio métrico. <br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sean $F,K$ subconjuntos de $X$. Demuestre que si $F$ es cerrado y $K$ es compacto, entonces $F \cap K$ es compacto.<br /><br />\item Sea $\mathcal{F}$ una colección infinita de subconjuntos compactos de $X$. Demuestre que $\displaystyle\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ es un conjunto compacto.<br /><br />\item Demuestre que la unión de un número finto de subconjuntos compactos de $X$ es un conjunto compacto.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Demuestre que si un subconjunto $E$ de un espacio métrico es conexo, entonces $\overline{E}$ también es conexo. Si $\overline{E}$ es conexo, ¿es $E$ necesariamente conexo?.<br /><br />\item Denotemos por $B([0,1])$ el conjunto de todas las funciones acotadas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}$.\\ Para $f, g \in B([0,1])$, definamos $d(f,g) = \sup\{\|f(x)-g(x)\|/x \in [0,1] \}$. Sea $f_0: [0,1] \to \mathbb{R}$ la función nula, es decir, $f_0(x) = 0$ para todo $x \in [0,1]$. Demuestre que el conjunto <br />$$\overline{\{f \in B([0,1]) / d(f,f_0) < 1 \}}$$<br />es acotado y cerrado pero NO es compacto.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$ -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2009, 11:32 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(DressedToKill @ Jul 27 2009, 03:09 AM) Prof. Marta García-Huidobro. $TEX: \noindent<br /><br />Sean $F,K$ subconjuntos de $X$. Demuestre que si $F$ es cerrado y $K$ es compacto, entonces $F \cap K$ es compacto.<br />$ $TEX: Tenemos que $K$ es cerrado por ser subconjunto compacto de un espacio métrico. $F\cap K$ es cerrado pues es la intersección de dos cerrados. Por propiedad: \textsl{Si $X$ es compacto y $Z\subseteq X$ es cerrado, entonces $Z$ es compacto}, dado que $F\cap K\subseteq K$, se deduce que $F\cap K$ es compacto.$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2009, 10:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3 $TEX: \noindent Sean $G_1,G_2$ dos abiertos no vacíos tales que <br />\begin{enumerate}<br />\item $G_1\cap \overline{E}\not=\emptyset$.<br />\item $G_1\cap G_2\cap\overline{E}=\emptyset$.<br />\item $\overline{E}\subseteq G_1\cup G_2$.<br />\end{enumerate}<br />Como $E\subseteq \overline{E}$, entonces <br />\begin{enumerate}<br />\item $G_1\cap G_2\cap E=\emptyset$.<br />\item $E\subseteq G_1\cup G_2$.<br />\end{enumerate}<br />Si $G_1\cap E=\emptyset$, entonces existe $p\in E'$ tal que $p\in G_1$, pero como $G_1$ es abierto, $\exists r>0$ tal que $B(p,r)\subset G_1$ y sigue que $G_1\cap E\not=\emptyset$. Luego, como $E$ es conexo $G_2\cap E=\emptyset$ y por un razonamiento análogo al anterior, $G_2$ no puede contener puntos límites de $E$. Así, $G_2\cap \overline{E}=\emptyset.$<br />\begin{flushright}<br />$\square$<br />\end{flushright}<br />Sea $E=(0,1)\cup(1,2)\subset \mathbb{R}$ usual. Como un conjunto es conexo en $\mathbb{R}$ ssi es un intervalo, entonces $\overline{E}=[0,2]$ es conexo pero no $E$.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2009, 10:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2b) $TEX: \noindent Sea $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ una sucesión en $\displaystyle\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$. Luego, para cada $F \in \mathcal{F}$, se tiene que $\left(x_n\right)\in F$ y al ser compactos, existe una subsucesión $\left(x_{n_k}\right)_{k=1}^{\infty}$ que converge a $x_0\in F$. Así, $\left(x_{n_k}\right),x_0\in\displaystyle\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ y por lo tanto, $\displaystyle\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ es compacto. $\square$$ P2c) $TEX: \noindent Sea $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ una sucesión en $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} F_k$. Luego, al ser una cantidad finita, al menos para un $k$, vale que $F_k$ contiene infinitos términos de $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ y al ser compacto, existe una subsucesión $\left(x_{n_k}\right)_{k=1}^{\infty}$ que converge a $x_0\in F_k$. Así, $\left(x_{n_k}\right),x_0\in\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} F_k$ y por lo tanto, $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} F_k$ es compacto. $\square$$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 20 2009, 12:38 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Agradecimientos a quienes desenterraron este tema (yo nunca lo vi)\\<br />$ $\\<br />Soluci\'on a la primera parte del problema 4.\\<br />$ $\\<br />Hasta donde se todas las clausuras son cerradas por un teorema muy com\'un.\\<br />Para mostrar acotamiento sea $f\in\mathcal{\mathbf{B}}_{[0,1]}$, entonces $\|f\|\leq\|f-f_{0}\|+\|f_{0}\|\leq1+0=1$.\\<br />As\'i que $\\|\mathcal{\mathbf{B}}_{[0,1]}\\|=\displaystyle\sup_{f\in\mathcal{\mathbf{B}}_{[0,1]}}\\|f\\|\leq1$.\\<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Sep 20 2009, 12:40 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2009, 08:34 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P4 $TEX: \noindent Consideremos <br />\[f_n(x)=\begin{cases}\begin{tabular}{c c c}<br />$\dfrac{\sqrt{\pi}}{17},$&si&$x=\dfrac{1}{n}$;\\<br />\\<br />$0$,&si&$x\not=\dfrac{1}{n}$.<br />\end{tabular}\end{cases}\]<br />Como $\frac{\sqrt{\pi}}{17}<1\Rightarrow \left(f_n\right)\in B[0,1]$. Notemos que $d(f_n,f_m)=\frac{\sqrt{\pi}}{17},\forall n,m$ distintos.\\<br />\\<br />Luego, cualquier subsucesión de $\left(f_n\right)$ no es de Cauchy y por ende, no puede ser convergente. Así, el conjunto no es compacto. $\square$<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2012, 12:29 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P3. Suponga que $TEX: $\overline{E}$$ no es conexo. Entonces existe $TEX: $f:\overline{E}\to \{0,1\}$$ continua y sobre. Como $TEX: $E$$ es conexo, entonces $TEX: $f(E)=0\veebar f(E)=1$$ (pues si $TEX: $f(E)=\{0,1\}$$ se cumpliría que $TEX: $E$$ no es conexo). Asuma w.l.o.g que $TEX: $f(E)=0$$ . Sea $TEX: $x\in \overline{E}$$ y $TEX: $\{x_n\}\subset E$$ una sucesión tal que $TEX: $x_n\to x$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Como $TEX: $f$$ es continua, se tiene que $TEX: $f(x)=\lim_{n\to \infty} f(x_n)=0$$ . Esto significa que $TEX: $f$$ no es sobre. Contradicción. Por lo tanto $TEX: $\overline{E}$$ es conexo. $TEX: $\square$$ Para el contraejemplo, basta ver el post de Abu-Khalil. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 29 2012, 10:03 AM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

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