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I3 Análisis Real, 2-2008

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2009, 11:51 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	$TEX: \noindent<br /><br />\begin{center} \bf{Interrogación N. 3, Análisis Real} \\ Lunes 10 de Noviembre, 2008 \end{center}<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto, y sea $\{x_n\}$ una sucesión en $X$ tal que toda subsucesión de ella que converge, converge a $x_0 \in X$. Demuestre que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$.<br /><br />\item Dé un ejemplo para mostrar que la hipótesis "compacto" es necesaria.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sea $f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$ definida por<br />$$f_n(x) = \dfrac{nx}{1+n^2x^p}, \qquad p >0 $$<br />Determine los valores de $p$ para los cuales la sucesión $f_n$ converge uniformemente a su límite $f$.<br /><br />\item Considere la serie de funciones<br />$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \sin(nx)$$<br />Demuestre que esta serie converge puntualmente en $[0,\infty)$, uniformemente en $[\rho, \infty)$ para todo $\rho > 0$, pero no converge uniformemente en $[0,\infty)$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Un punto $x_0$ en un espacio métrico $(X,\rho)$ se dice aislado si existe una bola abierta $B_{\delta}(x_0)$ tal que $B_{\delta}(x_0) \cap X = \{ x_0 \}$. Pruebe que un espacio métrico completo que no tiene puntos aislados no puede ser numerable.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$ $TEX: \noindent<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item[4.] Sea $(X,d)$ espacio métrico y sea $E \subset X$ un subconjunto con la siguiente propiedad: \\<br />Dado $\epsilon > 0$, existen puntos $x_1, x_2, \cdots, x_k$ de modo que $E \subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^k B_{\epsilon}(x_i)$. (Los conjuntos con esta propiedad se llaman conjuntos totalmente acotados). <br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Muestre que un conjunto con la propiedad descrita arriba es acotado y de un ejemplo para mostrar que la afirmación recíproca no es necesariamente cierta.<br /><br />\item Demuestre que dada una sucesión $\{x_n\}$ en $E$, existen sucesiones $\{x_{1,n}\}, \{x_{2,n}\}, \{x_{3,n}\}, \cdots$ de manera que $\{x_{1,n}\} = \{x_n\}$, y para $k\ge2$<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item $\{x_{k,n}\}$ es una subsucesión de $\{x_{k-1,n}\}$, y <br /><br />\item $\{x_{k,n}\}$ está contenida en una bola de radio $1/k$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br /><br />Pruebe que $\{x_{n,n}\}$ es una subsucesión de Cauchy de $\{x_{n,n}\}$. Deduzca que en cualquier espacio métrico, un conjunto es compacto si y sólo si es totalmente acotado y completo.<br /><br /><br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br /><br />$ -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2009, 01:12 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1a $TEX: \noindent Supongamos que $x_n\not\to x_0$. Entonces $\exists \epsilon>0$ tal que $\forall N>0,\exists n\geq N$ tal que $\rho\left(x_n,L\right)\geq \epsilon.$ Tomando $n_0=1,2,\ldots$ encontramos una subsucesión de $(x_n)$ que no converge a $L$, digamos $\left(x_{n_k}\right)$.\\<br />\\<br />Como $\left(X,d\right)$ es compacto, existe una subsucesión convergente de la última, digamos $\left(x_{n_{k_j}}\right)$ que tampoco converge a $L$ pero también es una subsucesión de $\left(x_n\right)$, lo cual es una contradicción. $\square$$ P1b $TEX: \noindent Consideremos $X=\mathbb{N},$ equipado con la métrica usual restriginda de $\mathbb{R}$. Este espacio no es compacto pues no es acotado. Consideremos la sucesión <br />\[x_n=\begin{cases}<br />n,\text{ si }n\text{ es impar}\\<br />2,\text{ si }n\text{ es par}<br />\end{cases}.\]<br />Es claro que toda subsucesión que converge, lo hace a 2 pero $x_n\not \to 2$.<br />$ P4a $TEX: \noindent Sea $\displaystyle R=\max_{2\leq i \leq k} d(x_1,x_i)\Rightarrow E\subseteq \bigcup_{i=1}^kB(x_i,\epsilon)\subseteq B(x_1,R+\epsilon)$. $\square$\\<br />\\<br />Para el contraejemplo, basta tomar el problema 4 de$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 7 2009, 09:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2a $TEX: \noindent Es fácil ver que $f$ es la función nula. Luego, si $0<p\leq 1$<br />\[\sup_{x\in[0,1]}\left\|\frac{nx}{1+n^2x^p}\right\|\leq \frac{nx}{n^2x^p}=\frac{x^{1-p}}{n}\leq \frac{1}{n}\to 0.\]<br />Si $p>1$, notemos que<br />\[f_n'(x)=\frac{n\left(1+n^2x^p\right)-pn^3x^p}{\left((1+n^2x^p\right)^2}=0\iff n+n^3(1-p)x^p=0\iff x=\frac{1}{\sqrt[p]{n^2(p-1)}}.\]<br />Así,<br />\[\max_{x\in[0,1]}f\left(x\right)=\frac{\frac{n}{\sqrt[p]{n^2(p-1)}}}{1+\frac{1}{p-1}}=\frac{p-1}{p\sqrt[p]{p-1}}n^{1-\frac{2}{p}}.\]<br />$\therefore$ la convergencia es uniforme sólo si $1-\frac{2}{p}<0\iff p<2$. Finalmente, $f_n\to f$ uniformemente para $0<p<2$.<br />$ P2b $TEX: \noindent Sea $p>0$. Si $x\in[\rho,\infty)$, se tiene que<br />\[\left\|e^{-nx}\sin nx\right\|\leq e^{-nx}\leq e^{-n\rho}=M_n;\]<br />y por el criterio de Weiertrass, la serie converge uniformemente. Sin embargo, para cualquier $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $\frac{1}{n}\in[0,\infty)$ y por lo tanto, <br />\[\sup_{x\in[0,1]}\left\|e^{-nx}\sin nx\right\|\geq e^{-1}\sin 1.\]<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2010, 10:38 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	Pregunta 3 $TEX: <br />supongamos que es numerable$ Por lo que $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiwaiabg2<br />% da9maatahabaGaamiEamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaeaacaWGRbGa<br />% eyypa0JaaGymaaqaaiabg6HiLcqdcqWIQisvaaaa!3F61!<br />$$<br />X = \bigcup\limits_{k = 1}^\infty {x_k } <br />$$<br />$ donde cada $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa<br />% aaleaacaWGRbaabeaaaaa!3794!<br />$$<br />{x_k }<br />$$<br />$ , es un punto de X es claro que como X no tiene puntos aislados cada $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa<br />% aaleaacaWGRbaabeaaaaa!3794!<br />$$<br />{x_k }<br />$$<br />$ , es denso en ninguna parte por lo que X es de primera categoría, pero por el teorema de baire, y al ser X un espacio com´pleto X es de segunda categoría (es un abierto), se sigue la contradicción Mensaje modificado por febomon el Dec 19 2010, 10:33 PM

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2011, 12:13 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Demostraremos la 1a utilizando la siguiente caracterización de convergencia de sucesiones http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=706...mp;#entry538449 $TEX: Sea $x_{n_k}$ una subsucesión de $x_n$. Si $x_{n_k}$ converge, entonces por hipótesis converge a $x_0$, con lo que todas sus subsucesiones convergen a $x_0$. Si $x_{n_k}$ no converge, entonces por ser $X$ compacto, tiene una subsucesión convergente, digamos $x_{n_{k_j}}$. Como $x_{n_{k_j}}$ es subsucesión de $x_n$, por hipótesis converge a $x_0$. Luego, toda subsucesión de $x_n$ tiene una subsucesión convergente a $x_0$, con lo que concluímos que $x_n$ converge a $x_0$.$ -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

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