I1 Álgebra Abstracta I

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I1 Álgebra Abstracta I, 2S2009

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Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2009, 08:44 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MLM2205 - Álgebra Abstracta I\\<br />14 de Septiembre de 2009\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Demuestre o dé un contraejemplo:<br />\begin{enumerate}<br />\item $A_4$ no tiene un subgrupo normal no trivial.<br />\item $S_3=\{e,a,a^2,b,ab,a^2b\}$ es producto directo interno de $<a>$ y $<b>$.<br />\item El centro de $D_3$ es no trivial.<br />\item $D_4$ tiene por lo menos dos subgrupos distintos de índice dos.<br />\item Si $G$ es finito, entonces $\|ab\|=\|ba\|$ para todo $a,b\in G$.<br />\item Para todo $n>1,\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{2n}$ es isomorfo a un grupo cíclico.<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate}<br />\item Sea $G$ un grupo cíclico y $N\unlhd G$. Demuestre que $G/N$ es cíclico.<br />\item Sea $N\unlhd G$. Demuestre que $G/N$ es abeliano si y sólo si $G'\unlhd N$.<br />\item Determine todos los homomorfismos de $\mathbb{Z}_{10}$ en $\mathbb{Z}_4$.<br />\end{enumerate}<br />\item Sea $G$ finito y $H\leq G$. Sea $g\in G$, se define $\phi_g: G/H\to G/H$, dada por <br />\[\phi_g\left(Hx\right)=Hxg^{-1}\]<br />\begin{enumerate}<br />\item Pruebe que para todo $g\in G,\phi_g$ es una biyección.<br />\item Sea $F:G\to S_{\|G:H\|}$ dada por $F(g)=\phi_g$. Demuestre que $F$ es un homomorfismo.<br />\item Determine el $\ker(F)$.<br />\item Use lo anterior para probar que si $H\leq G$ tal que $\|G:H\|$ es el menor primo que divide al orden de $G$, entonces $H\unlhd G$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ Era bonita la 3 -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$