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Dos recurrencias.

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 15 2009, 09:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b\in \mathbb{R^+}$$ . Definamos las recurrencias $TEX: $x_n$, $y_n$$ como: $TEX: $x_1=a$$ y $TEX: $x_{n+1}^2=a^2+x_n$$ para $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ $TEX: $y_1=b$$ y $TEX: $y_{n+1}^2=b^2+y_n$$ para $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ Demuestre o refute la siguiente proposicion: $TEX: $x_n+y_n<1+\sqrt{2(a^2+b^2)+1}$$ ; $TEX: $\forall n\in \mathbb{N} $$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Ernesto Piwonka Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2009, 12:43 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Sep 15 2009, 11:07 PM) Sean $TEX: $a,b\in \mathbb{R^+}$$ . Definamos las recurrencias $TEX: $x_n$, $y_n$$ como: $TEX: $x_1=a$$ y $TEX: $x_{n+1}^2=a^2+x_n$$ para $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ $TEX: $y_1=b$$ y $TEX: $y_{n+1}^2=b^2+y_n$$ para $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ Demuestre o refute la siguiente proposicion: $TEX: $x_n+y_n<1+\sqrt{2(a^2+b^2)+1}$$ ; $TEX: $\forall n\in \mathbb{N} $$ Me parece que esto no da para preolímpico, pero, ya que estamos... Ambas sucesiones tienen la misma forma, de modo que lo que sigue aplica igualmente para ambas, aunque el cálculo se refiera sólo a $TEX: $x_n$$ . Primero que todo, ambas sucesiones son crecientes. En efecto, $TEX: \[<br />x_n < x_{n + 1} \Rightarrow x_n < \sqrt {a^2 + x_n } <br />\]$ Asumiendo que $TEX: \[<br />x_n > 0<br />\]$ , lo cual es evidente por definición: $TEX: \[<br />x_n < \sqrt {a^2 + x_n } \Rightarrow x_n ^2 < a^2 + x_n \Rightarrow x_n ^2 - x_n - a^2 < 0<br />\]$ La ecuación cuadrática asociada tiene raíces $TEX: \[<br />x_n = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2}<br />\]$ y es fácil ver que la inecuación se cumplirá cuando $TEX: \[<br />\frac{{1 - \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2} < x_n < \frac{{1 + \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2}<br />\]$ . Por otra parte, tomando límite cuando n tiende a infinito, vemos que, si la sucesión converge a L, entonces $TEX: \[<br />L^2 = a^2 + L \Rightarrow L^2 - L - a^2 = 0 \Rightarrow L = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2}<br />\]$ De este modo, en ambos casos se cumplirá la condición anterior, por lo cual la sucesión es creciente y converge a $TEX: \[<br />\frac{{1 + \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2}<br />\]$ . Así, pues, la suma de ambos límites es igual a $TEX: \[<br />\frac{{1 + \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2} + \frac{{1 + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2} = 1 + \frac{{\sqrt {1 + 4a^2 } + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2}<br />\]$ . Probaremos que $TEX: \[<br />1 + \frac{{\sqrt {1 + 4a^2 } + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2} < 1 + \sqrt {2\left( {a^2 + b^2 } \right) + 1} <br />\]$ . Desarrollando la inecuación: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sqrt {1 + 4a^2 } + \sqrt {1 + 4b^2 } < 2\sqrt {2\left( {a^2 + b^2 } \right) + 1} \hfill \\<br /> 1 + 4a^2 + 2\sqrt {\left( {1 + 4a^2 } \right)\left( {1 + 4b^2 } \right)} + 1 + 4b^2 < 4\left[ {2\left( {a^2 + b^2 } \right) + 1} \right] \hfill \\<br /> \sqrt {\left( {1 + 4a^2 } \right)\left( {1 + 4b^2 } \right)} < 1 + 2\left( {a^2 + b^2 } \right) \hfill \\<br /> \left( {1 + 4a^2 } \right)\left( {1 + 4b^2 } \right) < \left[ {1 + 2\left( {a^2 + b^2 } \right)} \right]^2 \hfill \\<br /> 1 + 4b^2 + 4a^2 + 16a^2 b^2 < 1 + 4\left( {a^2 + b^2 } \right) + 4\left( {a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ inecuación que, finalmente, se reduce a $TEX: \[<br />a^4 - 2a^2 b^2 + b^4 > 0 \Rightarrow \left( {a^2 - b^2 } \right)^2 > 0<br />\]$ la que, evidentemente, se cumple para cualquier valor real de a y b, de donde se concluye asimismo que $TEX: \[<br />\frac{{\sqrt {1 + 4a^2 } + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2} < \sqrt {2\left( {a^2 + b^2 } \right) + 1} <br />\]$ también para cualquier valor real de a y b. De este modo, como $TEX: \[<br />x_n < \frac{{1 + \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2}<br />\]$ e $TEX: \[<br />y_n < \frac{{1 + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2}<br />\]$ siempre, es fácil ver que $TEX: \[<br />x_n + y_n < \frac{{1 + \sqrt {1 + 4a^2 } }}<br />{2} + \frac{{1 + \sqrt {1 + 4b^2 } }}<br />{2} < 1 + \sqrt {2\left( {a^2 + b^2 } \right) + 1} <br />\]$ como se quería demostrar. -------------------- Saludos, EPC http://epiwonka.blogspot.com

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2009, 07:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta don Ernesto Piwonka Adjunto mi solucion (similar en muchos aspectos a la suya): Afirmacion: Para todo $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ , se cumple que: $TEX: $x_n<\dfrac {1}{2}+\sqrt{a^2+\dfrac {1}{4}}$$ Demostracion: Se procedera por induccion. Para $TEX: $n=1$$ , veamos que $TEX: $a=\sqrt{a^2}<\sqrt{a^2+\dfrac{1}{4}}<\dfrac {1}{2}+\sqrt {a^2+\dfrac{1}{4}}$$ Supongamos que existe cierto $TEX: $n=k$$ tal que la desigualdad es cierta. Entonces para $TEX: $n=k+1$$ : $TEX: $x_{k+1}=\sqrt{x_n+a^2}<\sqrt{a^2+\dfrac{1}{2}+\sqrt{a^2+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{a^2+\dfrac{1}{4}}$$ Demostrando de esta forma la afirmacion $TEX: $\square$$ Ahora , veamos que ya tenemos que $TEX: $x_n+y_n< 1+\sqrt{a^2+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{4}}$$ Por otro lado, por la desigualdad $TEX: $QM\ge AM$$ , se tiene que: $TEX: $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{4}}\leq \sqrt{2(a^2+b^2)+1}$$ Por lo tanto $TEX: $x_n+y_n<1+\sqrt{2(a^2+b^2)+1}$$ , y la proposicion es verdadera. $TEX: $\blacksquare$$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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