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Desigualdad x,y

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2010, 10:36 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Muestre que para todo $x,y>1$ se cumple que: $$\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge 8$$$ Con un poquito de ingenio sale rapido =), saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2010, 11:01 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Ya, me tiro nomas:\\<br />$ $\\<br />$ $\\<br />Usamos obviamente el cambio de variables $x=1+a$, $y=1+b$ con $a,b>0$.\\<br />La desigualdad a probar se transforma en <br />\begin{eqnarray}<br />\dfrac{(a+1)^{2}}{b}+\dfrac{(b+1)^{2}}{a}\geq 8\Longleftrightarrow (1+2a+a^{2})a+(1+2b+b^{2})b\geq 8ab<br />\end{eqnarray}<br />y aqu\'i es donde me pase de la cota que se debe probar, porque usando MA-MG en los par\'entesis se llega a que el lado izquierdo de la desigualdad de arriba es mayor o igual a<br />\begin{eqnarray}<br />3\sqrt[3]{2}a^{2}+3\sqrt[3]{2}b^{2}\geq3\sqrt[3]{2}\times2ab=6\sqrt[3]{2}ab<br />\end{eqnarray}<br />Siiiii, esta bien, no es lo que se pedia pero tampoco es algo descabellado.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2010, 11:18 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jan 6 2010, 01:01 PM) $TEX: $ $\\<br />Ya, me tiro nomas:\\<br />$ $\\<br />$ $\\<br />Usamos obviamente el cambio de variables $x=1+a$, $y=1+b$ con $a,b>0$.\\<br />La desigualdad a probar se transforma en <br />\begin{eqnarray}<br />\dfrac{(a+1)^{2}}{b}+\dfrac{(b+1)^{2}}{a}\geq 8\Longleftrightarrow (1+2a+a^{2})a+(1+2b+b^{2})b\geq 8ab<br />\end{eqnarray}<br />y aqu\'i es donde me pase de la cota que se debe probar, porque usando MA-MG en los par\'entesis se llega a que el lado izquierdo de la desigualdad de arriba es mayor o igual a<br />\begin{eqnarray}<br />3\sqrt[3]{2}a^{2}+3\sqrt[3]{2}b^{2}\geq3\sqrt[3]{2}\times2ab=6\sqrt[3]{2}ab<br />\end{eqnarray}<br />Siiiii, esta bien, no es lo que se pedia pero tampoco es algo descabellado.$ Pero el inconveniente de acotar asi es que si te fijas, $TEX: $6\sqrt[3]{2}<8$$ . Tu idea hubiera funcionado de maravillas si hubiera sido al reves, pero no =(. Como consejo, no se necesita ocupar cosas tan "cerdas" en este problema, y tal vez aplicar $TEX: $MA \ge MG$$ de otra forma te sea util, si vas muy bien encaminada hasta cierto punto. Saludos, y a seguir intentando =) -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2010, 12:22 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tomando la última desigualdad descrita por Kaissa, por $TEX: $MA\ge MG$$ se tiene que es $TEX: $$\frac{a(a+1)^{2}+b(b+1)^{2}}{ab}\ge \frac{2(a+1)(b+1)}{\sqrt{a}\sqrt{b}},$$$ por otro lado $TEX: $a+1\ge2\sqrt a$$ y $TEX: $b+1\ge2\sqrt b,$$ así que $TEX: $2(a+1)(b+1)\ge 8\sqrt{a}\sqrt{b},$$ y se obtiene lo pedido. $TEX: $\blacksquare$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2010, 12:51 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correcta Krizalid Con esto, pasamos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 13 2015, 06:51 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Utilizando la sustitución que puso kaissa, y desarmando todo: $TEX: \( (1+2b+b^2)b+(1+2a+a^2)a \geq 8ab \)$ $TEX: \( a+b+a^3+b^3+2(a-b)^2 \geq 0 \)$ Lo que es cierto, porque todas las cosas de la izquierda son positivas -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 13 2015, 06:57 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=91778

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