Media Aritmética y Media Geométrica

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Media Aritmética y Media Geométrica

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Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2010, 11:47 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Buenas, hago este post para demostrar la mas que archiconocida desigualdad $TEX: $MA \ge MG$$ , la idea de este post es ir agrupando varias demostraciones de diversa índole. He visto variados post, de demostraciones, como este. Pueden poner mas post sobre esto si hay algunos. Para empezar pongo esta usando lo que vimos en Cálculo III: (Un clásico me parece por lo demás): $TEX: $\\$Maximize: \[f(x_1,\hdots, x_n) = (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 \] sobre: \[ D = \{ (x_1,\hdots, x_n) \in \mathbb{R}^n \big/ x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2} = r^2 \} \]<br /><br />$\\$Solución: Usando multiplicadores de Lagrange se tiene:<br /><br />\[ \nabla f\left(\vec{p}\right) = \lambda \nabla g\left(\vec{p}\right) \]<br />Con \[g(x_1, \hdots , x_n) = x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2} - r^2 = 0 \quad \forall \vec{p} \in D \]<br />$ \Rightarrow \\ $ <br />$\\ \dfrac{\partial}{\partial x_1} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_2 \cdot \hdots \cdot x_n) = 2\lambda x_1 \\ \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_2} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_1\cdot x_3 \cdot \hdots \cdot x_n) = 2\lambda x_2 \\ <br />\vdots \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_n} \to 2(x_1\cdot \hdots x_n)(x_1 \cdot \hdots \cdot x_{n-1}) = 2\lambda x_n \\ $<br /><br />$\\$Notar que si algun $x_k=0 \quad \forall k=1\hdots n$ no se maximiza, por lo que la descartamos. Con esto: Multiplicando por $x_k$ correspondiente se tiene:<br /><br />$\\ \dfrac{\partial}{\partial x_1}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_1^{\ 2} \\ \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_2}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_2^{\ 2} \\<br />\vdots \\<br />\dfrac{\partial}{\partial x_n}\to (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \lambda x_n^{\ 2}$<br /><br />$\\$Luego sumando todas las ecuaciones se tiene:<br />\begin{align} n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 &= \lambda(x_1^{\ 2}+ \hdots +x_n^{\ 2}) \\ &= \lambda r^2 \end{align}$ $TEX: $\\$ \begin{center}$\Rightarrow \lambda = \dfrac{n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2}{r^2}$ \end{center} $\\$<br />Luego sustituyendo $\lambda$ en cualquier $\dfrac{\partial}{\partial x_k}$ :<br /><br />$\\ \Rightarrow (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 = \dfrac{n(x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2}{r^2} x_k^{\ 2} \\<br />\Rightarrow x_k^{\ 2} = \dfrac{r^2}{n} \to x_k = \dfrac{r}{\sqrt{n}}\quad \forall k=1\hdots n \\ \\<br />\Rightarrow \vec{p} = \left(\dfrac{r}{\sqrt{n}},\hdots ,\dfrac{r}{\sqrt{n}}\right) \\ $<br />$\\$ $\Rightarrow f(\vec{p}) = \left(\dfrac{r^2}{n}\right)^n$ es el máximo.<br /><br />$\\$Es decir:<br /><br />$\\ \left(\dfrac{r^2}{n} \right)^n = \left ( \dfrac{x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2}}{n} \right)^n \ge (x_1\cdot \hdots \cdot x_n)^2 \\ \\<br />\Rightarrow \dfrac{x_1^{\ 2}+\hdots+x_n^{\ 2}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1^{\ 2}\cdot \hdots \cdot x_n^{\ 2}} \\ \\<br />\Rightarrow MA \ge MG$ Para cualquier real positivo, considerando $a_k = x_k^{\ 2}$$ Saludos -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2010, 03:49 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	He aqui mi granito de arena a lo que puede ser un tema muy interesante y util. Mi demostracion utiliza el teorema de Jensen para funciones convexas. El teorema dice: Sea $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ y $TEX: $f(x)$$ una funcion convexa en un intervalo $TEX: $[a,b]$$ , entonces para cualquier $TEX: $t_i\in[0,1]$$ con $TEX: $i\in\mathbb{N}$$ y $TEX: $\displaystyle \sum^{n}_{i=1}t_i=1$$ , y $TEX: $x_i\in[a,b]$$ con $TEX: $i\in\mathbb{N}$$ se tiene que: $TEX: $f\left(\displaystyle \sum^{n}_{i=1}t_ix_i\right)\leq \displaystyle \sum^{n}_{i=1}t_i f(x_i)$$ Usaremos que todos los $TEX: $t_i$$ son $TEX: $\dfrac{1}{n}$$ . Con lo cual nos queda que $TEX: $f \left( \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}x_i}{n}\right)\leq \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}f(x_i)}{n}$$ Consideramos entonces $TEX: $f(x)$$ como $TEX: $e^{x}$$ y hacemos $TEX: $e^{x_i}=a_i$$ por lo cual tenemos que $TEX: $e^{\left( \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}x_i}{n}\right)}\leq \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}e^{x_i}}{n}$$ $TEX: $\sqrt[n]{e^{\left(\displaystyle \sum^{n}_{i=1}x_i\right)}}\leq \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}a_i}{n}$$ $TEX: $\sqrt[n]{\displaystyle \prod^{n}_{i=1}e^{x_i}}\leq \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}a_i}{n}$$ $TEX: $\sqrt[n]{\displaystyle \prod^{n}_{i=1}a_i}\leq \dfrac{\displaystyle \sum^{n}_{i=1}a_i}{n}$$ Que es lo mismo que $TEX: $\sqrt[n]{a_1a_2a_3\ldots a_n}\leq \dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n}{n}$$ Demostrando asi lo pedido -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2010, 07:54 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ya hay un post asi, lo inicio kenshin y tiene tbn un par de demos. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

diego__albo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 29 2011, 09:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 14-May 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 23.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	También manipulando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede llegar a MA-MG --------------------

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 29 2011, 09:43 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gamby @ Mar 29 2011, 10:34 PM) analizando con jensen la funcion $TEX: $f(x)=ln(x)$$ tambien edit : no habia visto lo de nabodorbuco pero eso se ve mas complicado xd

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