 I1 Variable Compleja, 2s 2009 |
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 Apr 1 2010, 02:20 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434  |
Prof. Alejando Ramirez
![TEX: \noindent<br />\begin{enumerate}<br />\item[(1)] Considere una función analítica $f$ definida en una región $\Omega$ del plano complejo. Supongamos que $|f^2-1| < 1$ en $\Omega$. Demuestre que se satisface sólo una de las siguientes propiedades: $Re(f(z)) > 0$ para todo $z \in \Omega$; $Re(f(z)) < 0$ para todo $z \in \Omega$.<br />\item[(2)] Sea $\theta \in (\pi/2, \pi)$, $b = e^{i \theta}, c = e^{-i\theta}$, $d = i/2$. Considere $\Omega$ la región formada por los $z \in \mathbb{C}$ tales que $Im((z-1)/b) > 0$, $Im((z-1)/c) < 0$, $Im((z-d)/i) < 0$ y $|z| \le 1$. Demuestre que $$\sup_{z \in \Omega} \dfrac{|1-z|}{1-|z|} < \infty$$<br />\item[(3)] De una definición precisa de una rama uni-valuada de $\sqrt{1+z}+\sqrt{1-z}$ en una región elegida en forma apropiada. Demuestre que es analítica.<br />\item[(4)] Considere la función <br />$$f(z) = \dfrac{z^5}{|z|^4}, z \not = 0, f(0) = 0$$<br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] Demuestre que $f$ es continua en $\mathbb{C}$.<br />\item[(b)] Demuestre que $f$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en $z=0$.<br />\item[©] Determine si $f$ es o no analítica.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />](./tex/5975731e14521d5030d98a0b8abe484e.png)
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Aug 23 2010, 07:08 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
![TEX: \begin{enumerate}<br />\item[(4)]<br />\begin{enumerate}<br />\item Dado que $f$ es un álgebra de continuas en $\mathbb C\setminus\{0\}$, tenemos que $f$ es continua allí. Además, notemos que<br />\[\left|f(z)\right|\le|z|.\]<br />Luego, <br />\[\lim_{z\to 0}f(z)=0.\]<br />Por ende, $f$ es continua en $\mathbb C$.<br />\item Mostraremos que en $z=0$, vale que<br />\[\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}.\]<br />Tenemos que<br />\[\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^5}{h^5}=1,\]<br />\[\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{h\to 0}\frac{ik^5}{k^5}=i.\]<br />Luego, se cumple lo requerido.<br />\item Supongamos que $f$ es analítica, entonces <br />\[f'(0)=\frac 12\left(\frac{\partial f}{\partial x}(0)-i\frac{\partial f}{\partial y}(0)\right)=1.\]<br />Consideremos $h=(1+i)t,t\in\mathbb R$. Entonces,<br />\[\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{t\to 0}\frac{h^4}{|h|^4}=\frac{(1+i)^4}{|1+i|^4}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right)^4=\cos\pi+i\sin\pi=-1.\]<br />Luego, $f$ no es analítica en $z=0$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}](./tex/b9b0a0bb02bc08ff45c0654bfac8c809.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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