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ECT-Maratón, Maratón de ecuaciones trigonométricas

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Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2013, 09:23 PM Publicado: #81
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 4 2013, 08:58 PM) habrá algún complejo que cumpla ? Déjame revisar y edito aquí mismo xd --------------------

master_c	Jun 4 2013, 09:28 PM Publicado: #82
Invitado	en realidad no existe un complejo que cumpla pero solo queria que justificaras, motivate con el que quedo pendiente, saludos

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2017, 06:31 PM Publicado: #83
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	que bonita maraton, aca un problemita por si se motivan ·Sea $TEX: $n{\in}N$$ siendo n un numero impar Pruebe que $TEX: $$\prod_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(5-4\cos\frac{ 2\pi k }{n})=2^n-1$$$ ·Demostrar que $TEX: $$\prod\limits_{k=0}^{n-1}{\left( x^{2}-2xy\cos \left( \alpha +\frac{2k\pi }{n} \right)+y^{2} \right)}=x^{2n}-2x^{n}y^{n}\cos \left( \alpha n \right)+y^{2n}$$$ ·Demostrar que $TEX: $$\prod_{k=1}^{n-1}\left ( \sin \frac{k\pi -x}{n}\sin \frac{k\pi +x}{n} \right )^{k}=\frac{1}{2^{n\left ( n-1 \right )}}\left ( \frac{\sin x}{\sin \frac{x}{n}} \right )^{n}$$$ ·Resolver $TEX: $$\cos ^{x}\frac{\pi }{5}-\left( \sin \frac{3\pi }{10}-\frac{1}{2} \right)^{x}=\frac{1}{2^{x}}$$$ ·Sea $TEX: $a$$ un numero real. Pruebe que $TEX: $$5(\sin^3{a}+\cos^3{a})+3\cos{a}\sin{a}=\frac{1}{25}$$$ si y solo si $TEX: $$5(\sin{a}+\cos{a})+2\sin{a}\cos{a}=\frac{1}{25}$$$

black-lotus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2018, 05:13 PM Publicado: #84
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 34 Registrado: 14-May 18 Miembro Nº: 157.192	CITA(pprimo @ Jun 12 2017, 06:31 PM) ·Sea $TEX: $n{\in}N$$ siendo n un numero impar Pruebe que $TEX: $$\prod_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(5-4\cos\frac{ 2\pi k }{n})=2^n-1$$$ $TEX: ${{z}^{2p+1}}-1=\left( z-{{e}^{-\frac{2p\pi i}{2p+1}}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( z-{{e}^{-\frac{4p\pi i}{2p+1}}} \right)\left( z-{{e}^{-\frac{2p\pi i}{2p+1}}} \right)\left( z-1 \right)\left( z-{{e}^{\frac{2p\pi i}{2p+1}}} \right)\left( z-{{e}^{\frac{4p\pi i}{2p+1}}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( z-{{e}^{\frac{2p\pi i}{2p+1}}} \right)$$ $TEX: $=\prod\limits_{k=-p}^{p}{\left( z-{{e}^{-\frac{2k\pi i}{2p+1}}} \right)}=\left( z-1 \right)\prod\limits_{k=1}^{p}{\left( z-{{e}^{-\frac{2k\pi i}{2p+1}}} \right)\left( z-{{e}^{\frac{2k\pi i}{2p+1}}} \right)}=\left( z-1 \right)\prod\limits_{k=1}^{p}{\left( {{z}^{2}}-z\left( {{e}^{\frac{2k\pi i}{2p+1}}}+{{e}^{-\frac{2k\pi i}{2p+1}}} \right)+{{e}^{-\frac{2k\pi i}{2p+1}}}{{e}^{\frac{2k\pi i}{2p+1}}} \right)}$$ $TEX: $=\left( z-1 \right)\prod\limits_{k=1}^{p}{\left( {{z}^{2}}-2z\cos \left( \frac{2k\pi }{2p+1} \right)+1 \right)}=\frac{z-1}{{{z}^{2}}-2z+1}\prod\limits_{k=0}^{p}{\left( {{z}^{2}}-2z\cos \left( \frac{2k\pi }{2p+1} \right)+1 \right)}$$ $TEX: $=\frac{1}{z-1}\prod\limits_{k=0}^{p}{\left( {{z}^{2}}-2z\cos \left( \frac{2k\pi }{2p+1} \right)+1 \right)}\Rightarrow \prod\limits_{k=0}^{p}{\left( {{z}^{2}}-2z\cos \left( \frac{2k\pi }{2p+1} \right)+1 \right)}=\left( z-1 \right)\left( {{z}^{2p+1}}-1 \right)$$ $TEX: $z=2\Rightarrow \prod\limits_{k=0}^{p}{\left( 5-4\cos \left( \frac{2k\pi }{2p+1} \right) \right)}={{2}^{2p+1}}-1$$ como $TEX: $n$$ es impar, $TEX: $n=2p+1$$ y se concluye que $TEX: $\prod\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{\left( 5-4\cos \left( \frac{2k\pi }{n} \right) \right)}={{2}^{n}}-1$$

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