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Triángulos Primero Medio

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 06:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Dada la secuencia: triangulosprimeromedio.PNG ( 4.79k ) Número de descargas: 6 ... Nota: Los colores de los triángulos externos se alternan. Encuentre el color de los triángulos externos y la cantidad de triángulos externos en la figura número 2010 de la secuencia. Encuentre una expresión matemática para la cantidad total de triángulos en la figura número n de la secuencia y calcule esta cantidad para n=2010 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 06:06 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	habra ud notado que los triangulos perifericos de las figuras pares son negros, luego el nro 2010 tendrá triangulos negros afuerita. para contarlos simplemente observe ud que es la tabla del nueve atrasada en 1, asi que la figura 2010 tendra 2009X9 triangulitos. la parte B lo unico que pedia era que ud escribiera Tn=9(n-1)+T(n-2) (donde Tn=triangulos perifericos de la figura "n") sustituyendo el valor de todos los T tenemos finalmente Tn=9(1+2+3+4+...+(n-1))=4.5n(n-1) Mensaje modificado por Kaissa el Aug 8 2010, 06:11 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 06:09 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En la parte a, hay un leve error de conteo. Por ejemplo, en la figura 2 de la secuencia hay 9 x 1 triángulos. En la parte b no basta con los triángulos externos, deben ser contados todos los triángulos. En todo caso, creo que para ser problema de tercero era un "regalo"... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 06:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	editado -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 06:50 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	yo la parte b la hise de diferente manera la mostrare. $TEX: si nos damos cuenta $a_{n}=a_{n-1}+9(n-1)$<br />\\tenemos $a_{1}=1$, $a_{2}=10$,$ a_{3}=28$<br />\\$1=1<br />\\10=1+2+3+4<br />\\28=1+2+3+4+5+6+7$<br />\\entonces la cantidad de triangulos es la suma de los enteros consecutivos hasta llegar a $3n-2$<br />$=\displaystyle \sum_{k=1}^{3n-2} k = \displaystyle\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}$<br />\\ahora demostraremos la formula con induccion.<br />\\$a_{1}=\displaystyle\frac{(1)(2)}{2}=1$<br />\\suponemos para $a{k}=\displaystyle\frac{(3k-2)(3k-1)}{2}=\displaystyle\frac{9k^2-9k+2}{2}$<br />\\ahora $a_{k+1}=\displaystyle\frac{(3(k+1)-2)(3(k+1)-1)}{2}$<br />\\$=\displaystyle\frac{9k^2+9k+2}{2}$<br />\\$=\displaystyle\frac{9k^2-9k+2}{2}+9k$<br />\\demostrando la veracidad de la formula.<br />\\conclusion <br />\\$a_{n}= \displaystyle\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}$<br />\\ \\Saludos$ Mensaje modificado por luis_fz el Aug 8 2010, 06:51 PM

Kuky Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2010, 10:00 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 14 Registrado: 24-October 09 Desde: santiago Miembro Nº: 60.849 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Yo soy de segundo medio, un amigo de III medio me lo paso y en clase lo hice (el b): Notemos que: En la figura 1 hay una fila, lo que corresponde a 1 triangulo En la figura 2 hay 3 filas mas y en cada fila aumenta en 1 el numero de triangulos, en total 10 En la figura 3 hay 3 filas mas, en total 28 triangulos. Podemos aplicar la formula para determiar el numero de filas (ya que en cada figura aumenta en 3): 1 -> 1+3(1-1)=1 2 -> 1+3(2-1)=4 3 -> 1+3(3-1)=7 .... 2010 -> 1+3(2010-1) = 1+32009= 6028 Ademas notemos que el numero de triángulos aumenta en uno por cada fila, por lo que podriamos aplicar una de las formulas de la sumatoria (desde 1 hazta n) 1-> 1(1+1)/2=1 2-> 4(4+1)/2=10 3-> 7(7+1)/2=28 .... 2010-> 6028(6029)/2= 30146029 Creo que el ejercicio bastará con dejar la solución indicada Mensaje modificado por Kuky el Aug 9 2010, 10:01 PM

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2011, 04:20 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1- Por paridad claramente la figura $TEX: $2010$$ tiene triángulos exteriores de color negro. Notemos que al pasar de figura en figura, al lado se le agregan $TEX: $3$$ triángulos, así que el lado de la figura $TEX: $n$$ sera $TEX: $3(n-1)+1$$ . Cada figura tiene $TEX: $3$$ lados, pero cada lado uno a uno se intersecta con otro en $TEX: $1$$ triangulo, asi que la cantidad de triangulos externos de la figura $TEX: $n$$ sera $TEX: $3(3(n-1)+1)-3=9(n-1)$$ . Para $TEX: $n=2010$$ tendremos $TEX: $9(2010-1)=18081$$ triángulos externos. 2- Notemos que desde un lado a su vértice opuesto los triángulos cumplen una sucesión aritmética de diferencia $TEX: $1$$ . Asi que si el lado de la figura $TEX: $n$$ era $TEX: $3(n-1)+1=3n-2$$ , esta tendrá en total $TEX: $\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}$$ . Por lo tanto para $TEX: $n=2010$$ se tendrán $TEX: $\frac{6028 \cdot 6029}{2}=36342812$$ triángulos. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A resueltos porfavor. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 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tioberlin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 26 2011, 04:02 PM Publicado: #9
Matemático Grupo: Validating Mensajes: 50 Registrado: 22-October 11 Desde: Santiago Miembro Nº: 96.078 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	2- Notemos que desde un lado a su vértice opuesto los triángulos cumplen una sucesión aritmética de diferencia $TEX: $1$$ . Asi que si el lado de la figura $TEX: $n$$ era $TEX: $3(n-1)+1=3n-2$$ , esta tendrá en total $TEX: $\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}$$ . Por lo tanto para $TEX: $n=2010$$ se tendrán $TEX: $\frac{6028 \cdot 6029}{2}=36342812$$ triángulos. [/quote] La respuesta final a esa pregunta es 18.171.406 triángulos, se te olvido partir en 2.

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