 I1 Análisis Real, 2S 2010 |
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 Sep 4 2010, 01:01 PM
Publicado:
#1
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Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 29-September 08 Desde: Chile Miembro Nº: 35.149 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Interrogación I - Viernes 03 de Septiembre de 2010\end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $(X,\rho)$ un espacio métrico.<br />\begin{enumerate}<br /> \item Demostrar que si $\{x_n\}$, una sucesión en $X$, converge a $x_1$ y también a $x_2$ entonces $x_1=x_2$.<br /> \item Demostrar que si $A\subset X$ entonces $A^\circ$ es un conjunto abierto.<br />\end{enumerate}<br />\item Sea $X=\{\{a_n\}\,|\quad a_n \in \mathbb{R}\mbox{ con } \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty\}$, $$d_1(\{a_n\},\{b_n\})=\sum_{n=1}^{\infty}|a_n-b_n|$$ y <br />$$d_2(\{a_n\},\{b_n\})=\sup_{n\in \mathbb{N}}|a_n-b_n|$$<br />dos métricas definidas en $X$ y $F:X\rightarrow X$ dada por $$F(\{a_n\})=\{c_n\}$$<br />donde $c_1=0$, $c_2=1$ y $c_n=a_{n-2}$ si $n\geq 3$.\\ Estudiar la continuidad de $F$ si $F:(X,d_1)\rightarrow (X,d_2)$ y si $F:(X,d_2)\rightarrow (X,d_1)$<br />\item Demostrar que si $(X,d_1)$ y $(Y,d_2)$ son dos espacios métricos, $F:X\rightarrow Y$ es continua y $A\subset X$ es un conjunto conexo, entonces $F(A)$ es un conjunto conexo.<br />\item Sea $X$ el espacio de las funciones continuas de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ con $$d(f,g)=\int_0^1 |f(x)-g(x)|dx.$$<br />Si $A=\{f\in X|f(x)=a\sin(x)+b\cos(x); a,b\in \mathbb{R}\}$ y $B=\{x,x^2,x^3\}$, estudiar si $A$ y $B$ son conexos.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/a126207efa0aaf8e21951e155f9c2dcf.png) |
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Sep 4 2010, 01:03 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
chuaaaaaaaaaaa que onda??? ni parecido a las otras I-es que han subido!!! esta sale en como media hora xd
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Sep 4 2010, 07:34 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
así con la humildad.. en todo caso, el 3 lo hizo en clases la profe, el 1b era copiado del libro (y no lo hice xD), y el 1a es de cálculo 1 D:
-------------------- Bachiller en Ciencias
(ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile  |
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Sep 4 2010, 08:48 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434 |
Fue un comentario tipico del señor en todo caso.
Igual, las preguntas 1 y 3 son un poco basicas, asumo que a eso se referia Kaissa. Aunque igual todo depende de como hayan pasado la materia en clases. La 2 y 4 no se leen como para hacerse en 1 segundo en todo caso. -------------------- |
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Jan 28 2012, 11:50 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo: |
El problema 3 es un teorema conocido de conexidad. Le conozco dos demostraciones. La primera, es la usual (solamente requiere saber el significado de conexidad y un teorema conocido de continuidad)
Otra demostración es la siguiente. Ésta es mucho más rápida, pero requiere de otro teorema previo: Esta es  de la noche. Salu2.
Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 28 2012, 11:53 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass! |
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no es conexo, existen abiertos disjuntos 
que intersectan 
cuya unión contiene a 
. Como 
es continua, 
y 
son abiertos. Como 
se sigue que 
. Es decir, 
es una partición por abiertos de 
. Se sigue que 
no es conexo, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto 
es conexo. 
no es conexo, existe 
continua y sobre. Es decir, la función 
es continua y sobre. Esto significa que 
no es conexo (lo que contradice la hipótesis). Por lo tanto 
es conexo. 
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