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Función entera

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2010, 10:18 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\\$Sea $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función no-constante entera. Demuestre que $f(\mathbb{C})$ es denso en $\mathbb{C}$.$ -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

Pedro² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 09:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 824 Registrado: 15-October 07 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 11.342 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Supongamos por contradicción que existe $TEX: $r>0$$ y $TEX: $z_0\in \mathbb{C}$$ tal que $TEX: $B(z_0,r)\cap f(\mathbb{C})=\varnothing$$ . Definamos entonces $TEX: $g(z)=f(z)-z_0 \Rightarrow g(z)\neq 0, \forall z\in \mathbb{C}$$ . Se tiene así que $TEX: $1/g$$ es analítica en $TEX: $\mathbb{C}$$ y $TEX: $\left\|\dfrac{1}{g(z)}\right\|<\dfrac{1}{r},\;\forall z\in \mathbb{C}$$ , luego $TEX: $1/g$$ debe ser constante por el teorema de Liouville, contradicción. Ojalá esté bien, saludos Felipe -------------------- Pedro P. Montero Silva Estudiante de Licenciatura en Ciencias, Mención Matemática* - Mechón 2009* "One rather curious conclusion emerges, that pure mathematics is on the whole distinctly more useful than applied. A pure mathematician seems to have the advantage on the practical as well as on the aesthetic side. For what is useful above all is technique, and mathematical technique is taught mainly through pure mathematics." G.H. Hardy

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 19 2010, 09:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedro² @ Sep 19 2010, 11:07 PM) Supongamos por contradicción que existe $TEX: $r>0$$ y $TEX: $z_0\in \mathbb{C}$$ tal que $TEX: $B(z_0,r)\cap f(\mathbb{C})=\varnothing$$ . Definamos entonces $TEX: $g(z)=f(z)-z_0 \Rightarrow g(z)\neq 0, \forall z\in \mathbb{C}$$ . Se tiene así que $TEX: $1/g$$ es analítica en $TEX: $\mathbb{C}$$ y $TEX: $\left\|\dfrac{1}{g(z)}\right\|<\dfrac{1}{r},\;\forall z\in \mathbb{C}$$ , luego $TEX: $1/g$$ debe ser constante por el teorema de Liouville, contradicción. CITA Ojalá esté bien, saludos Felipe Excelente, la solución esperada. Saludos Pedro. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

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