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I1 MMF1, Métodos Matemáticos de la Física

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felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2010, 11:33 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />FIZ0223 - Métodos Matemáticos de la Física I \\<br />Interrogación 1 - Martes 14 de Septiembre de 2010 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item El vector posición de una partícula en movimiento está dado por \begin{equation} z=a\cos(\omega t)+ib\sin(\omega t). \end{equation} <br />\begin{enumerate}<br />\item Halle el lugar geométrico de los puntos descritos por el vector posición en el plano complejo.<br />\item Calcule la aceleración $d^2z/dt^2$.<br />\item Represente el vector aceleración asociado a la partícula en el plano complejo.<br />\end{enumerate}<br />\item<br />\begin{enumerate}<br />\item Probar que \begin{equation} \int_{\gamma}(y^2\cos x-2e^y)dx+(2y\sin x-2xe^y)dy=0 \end{equation}<br />alrededor de cualquier curva simple cerrada o de Jordan $\gamma$. <br />\item Hallar el valor numérico de la integral en (a) a lo largo de la parábola $y=x^2$, desde $(0,0)$ hasta $(\pi,\pi^2)$.<br />\end{enumerate}<br />\item <br />Integre \begin{equation} \int_{\gamma}\dfrac{\cos z}{z^3+z}dz \end{equation} sobre las curvas dadas: (a) $\gamma: \ \|z\|=2$, (b) $\gamma: \ \|z\|=1/2$, © $\gamma: \ \|z-i/2\|=1$<br />\item Pruebe utilizando el teorema de Cauchy que \begin{equation} \int_0^{\infty}e^{-x^2}\cos(2bx)dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^2}, \end{equation}<br />sabiendo que<br />\begin{equation}<br />\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}<br />\end{equation}<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2010, 03:15 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2 $TEX: \begin{enumerate}<br />\item Notemos que<br />\[\omega=(y^2\cos x-2e^y)dx+(2y\sin x-2xe^y)dy=d\left(y^2\sin x-2xe^y\right),\]<br />es decir, es una forma exacta.<br />\item Sea $\gamma$ la curva que parametriza el camino dado. Usando lo anterior, tenemos que<br />\[\int_\gamma \omega =\left.y^2\sin x-2xe^y\right\|^{(\pi,\pi^2)}_{(0,0)}=-2\pi e^{\pi^2}.\]<br />\end{enumerate} <br />$ P4 $TEX: \noindent Sea $f(z)=e^{-z^2}$. Como $f$ es analítica en $\mathbb C$, por Goursat, tenemos que $w=f(z)dz$ es cerrada en $\mathbb C$.\\<br />\\<br />Consideremos $R$ el rectángulo de vértices $(-a,0),(a,0),(a,b),(-a,b)$ y $\gamma$ una curva de Jordan que recorre $\partial R$ tradicionalmente en el sentido positivo. Entonces<br />\[\oint_\gamma\omega=0.\]<br />Pero<br />\[\oint_\gamma\omega=\sum_{k=1}^4\int_{\gamma_k}\omega,\]<br />donde<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_{\gamma_1}\omega&=\int_{-a}^ae^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}1_{[-a,a]}(x)dx\to\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi,\\<br />\int_{\gamma_2}\omega&=\int_0^be^{-(a+iy)^2}idy=e^{-a^2}\underbrace{\int_0^be^{-2iay+y^2}idy}_{\|\cdot\|\le\int_0^be^{y^2}dy<\infty}\to0,\\<br />\int_{\gamma_3}\omega&=-\int_{-a}^ae^{-(x+ib)^2}dx=-e^{b^2}\int_{-a}^ae^{-x^2}\left(\cos (2bx)-i\sin(2bx)\right)dx\\<br />&\overset{\text{(imparidad)}}{=}-e^{b^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(2bx)1_{[-a,a]}(x)dx\to-e^{b^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(2bx)dx,\\<br />\int_{\gamma_4}\omega&=-\int_0^be^{-(-a+iy)^2}idy=-e^{-a^2}\underbrace{\int_0^be^{2iay+y^2}idy}_{\|\cdot\|\le\int_0^be^{y^2}dy<\infty}\to0,<br />\end{aligned}\end{equation}<br />cuando $a\to\infty$ (la convergencia de las integrales se justifica por TCD de Lebesgue con dominación de $e^{-x^2}\in L^1\left(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\lambda\right)$). Es decir,<br />\[\sqrt{\pi}=e^{-b^2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(2bx)dx,\]<br />y la conclusión sigue de la paridad del integrando. $\square$<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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