Prueba Final, Nivel mayor, 2010 Opciones

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22ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS

Prueba Final, Nivel Mayor

Primera Prueba

Problema 1:Los números enteros satisfacen la siguiente identidad:

Pruebe que son cuadrados perfectos.

Problema 2: Determine cuál de los siguientes números es mayor,

Problema 3: Los lados BC, CA, y AB de un triángulo ABC son tangentes a una circunferencia en los puntos X,Y,Z respectivamente. Demuestre que el centro de tal circunferencia está sobre la recta que pasa por los puntos medios de BC y AX.

Primera Prueba[/b]

Problema 4:Sean números enteros tales que satisfacen que

Encuentre el resto que se obtiene al dividir por 5.

Problema 5: Considere una recta en el plano y sean puntos distintos en . Sea un punto que no está en . Muestre que existe en con de tal modo que la distancia de a es mayor que la distancia de a la recta que pasa por y .

Problema 6: Pruebe que en el interior de un triángulo equilátero de lado se puede poner una cantidad finita de círculos iguales que no se traslapen, de radio , de manera que la suma de sus áreas sea mayor que .


Mensaje modificado por Hamon el Oct 22 2010, 08:55 PM

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Hola, ojalá opinen de la prueba aquí mismo. La subo para comentarla, resolverla y obviamente para tenerla en nuestro querido FMAT.
Personalmente, la encontré bastante complicada. Quizás no tanto por los problemas, sino que me cabecié bastante con el 1 y el 3. Para el 2, por suerte, se me ocurrió una buena idea. El 1, lo dejé a medias, no se me ocurrió más, y el 3...me mató , bueno, por algo es el problema 3. Igual dejé un esbozo de solución, y un par de ideas. Ojalá mañana la prueba esté más asequible para mí, y pueda cumplir mi objetivo: resolver 3 problemas . Por ahora estoy picado, pues geometría es mi "fuerte".
Bueno, basta de palabrerías, tiraré la idea de mi solución para el problema 2:
Probaremos por inducción, que para n natural, mayor o igual que 2, se cumple lo siguiente:

Para 2, nuestra proposición es cierta: 4 es mayor que 2.
Luego, por proceso inductivo, asumamos que para un cierto n, la proposición es cierta. Demostraremos entonces que se cumplirá también para el sucesor de n; n+1.


Además;

QED
Luego, por el proceso inductvo, hemos demostrado que la primera expresión es mayor que la segunda, para todo n natural, mayor que 1.
Nota: Todas las multiplicaciones, y potencias efectuadas en las desigualdades, estan bien definidas, pues n es positivo.

Saludos! Posteense un hint pa los que no hicimos el 3 U.U

Mensaje modificado por Hamon el Oct 21 2010, 05:51 PM

[MetalMilitia]

**** tocayo, igual que a ti. Creo que el 2 lo hize mas simple, separando el factorial y despues estableciendo desigualdades. Pero el P1 y P3 u.u me dio mucha lata el p3, porque habia estudiao geometria, de hecho justo habia estudiao ceva, menelao y esas cosas pero aqui no caxe nunca como aplicarlo, despues me comentaron como se hacia :/ Sera, mañana nose, ojala que se pueda hacer algo xd

[MetalMilitia]

A, bueno, pal p3 segun me comentaron, podias tirar bisetrices para usar el teo de la bisectriz y dejar los trazos (que luegos ocuparias con Menelao) en funcion de los lados. De ahi Menelao y parece que estaba

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A, bueno, pal p3 segun me comentaron, podias tirar bisetrices para usar el teo de la bisectriz y dejar los trazos (que luegos ocuparias con Menelao) en funcion de los lados. De ahi Menelao y parece que estaba

que rabia!!! me sonaba el probelma, no se me ocurrio usar menelao eso que me lo sé y habia "repasado" la formula!! debe ser bonita oslucion, ahora la buscaré.
gracias por responder, a estar más lucidos mañana!!

[xD13G0x]

Creo que me salio muy lindo con homotecia.

Sea el punto medio de Sea el incentro de . Sea el punto diametralmente opuesto a con respecto al incirculo de . Sea el punto de tangencia del excirculo de (respecto a ) con . Sean y la interseccion de y con la paralela a por , respectivamente. Los triangulos y son homoteticos con centro en. El incirculo de es el excirculo de con respecto a de donde los puntos y son homologos, y por lo tanto, colineales con . Es facil ver que haciendo calculos sencillos. Tenemos que es el punto medio de de donde es el punto medio de . Pero de donde es el punto medio de demostrando lo pedido

[Felipe_ambuli]

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/A...Concurrence.pdf

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http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/A...Concurrence.pdf

gracias por el aporte...igual esta volao el documento ap mi gusto xD...me da lata, que en la nacional pongan problemas que sean "conocidos" (relativamente), pues para los exprimentados es como repetir la solucion, y para los nuevos es injusto pues hay gente que ya los ha visto xD. Bueno, será pos, a leer el pdf gracias por compartirlo

[josezero07]

tambien me mató el P3

Mensaje modificado por josezero07 el Oct 21 2010, 08:03 PM

[EnemyOfGod286]

Primer problema de geometría decente que veo en la nacional