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Prueba Final, Nivel mayor, 2010

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2010, 12:36 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Kaissa @ Oct 22 2010, 12:49 PM) No se si estaré muleando, pero ese ejercicio me parece como obvio mira: $TEX: $ $\\<br />$10^{10^{10^{10}}}>(10^{10})^{(10^{10})}$ y como $n^{n}\geq n!$ estamos listos no?$ pienso exactamente lo mismo. -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2010, 07:13 PM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, tengo entendido que $TEX: $10^{10^{10^{10}}}=10^{\left(10^{\left(10^{10}\right)}\right)}$$ . Aún así, no debería ser difícil. Estamos a la espera de la segunda parte y, por supuesto, de la prueba nivel menor. Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2010, 08:39 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Oct 22 2010, 08:13 PM) Bueno, tengo entendido que $TEX: $10^{10^{10^{10}}}=10^{\left(10^{\left(10^{10}\right)}\right)}$$ . Aún así, no debería ser difícil. Estamos a la espera de la segunda parte y, por supuesto, de la prueba nivel menor. Saludos a sus órdenes!! -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 10:27 AM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	p4) Fácilmente vemos que si $TEX: $(1+\sqrt{2})^{2010}=a+b\sqrt{2}$$ entonces $TEX: $(1-\sqrt{2})^{2010}=a-b\sqrt{2}$$ , es decir, el coeficiente $TEX: $b$$ lo podemos calcular fácilmente evaluando la diferencia de los términos anteriores. $TEX: \begin{tabular}{llll}<br />$2b\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2010}-(1-\sqrt{2})^{2010}$ & $=$ &$((1+\sqrt{2})^{1005}-(1-\sqrt{2})^{1005})k_2$ & \\ <br />$ $ & $=$ & $((1+\sqrt{2})^{201}-(1-\sqrt{2})^{201})k_2k_5$ & \\ <br />$$ & $=$ & $((1+\sqrt{2})^{3}-(1-\sqrt{2})^3)k_{67}k_5k_2$ & \\<br />$$ & $=$ & $2\cdot 5\cdot \sqrt{2} k_2k_3k_5k_{67}$ \\ <br /><br />\end{tabular}<br />$ Donde $TEX: $k_i$$ es el otro miembro de la factorización, por ejemplo $TEX: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ entonces $TEX: $k_3=x^2+xy+y^2$$ tomando en este caso $TEX: $x=1+\sqrt{2}$$ e $TEX: $y=1-\sqrt{2}$$ . De esto se concluye que $TEX: $b=5k_2k_3k_5k_{67}$$ entonces el resto es 0 -------------------- blep

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 04:18 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	No se si habre entendido mal pero el 5 parece trivial. Sea $TEX: $D$$ el pie de la altura de $TEX: $A$$ sobre $TEX: $L$$ . Por principio de palomares, existen $TEX: $i,j$$ tales que $TEX: $B_i$$ y $TEX: $B_j$$ estan en el mismo lado de $TEX: $L$$ respecto a $TEX: $D$$ . Podemos suponer que $TEX: $B_i$$ esta entre $TEX: $D$$ y $TEX: $B_j$$ . Tomamos $TEX: $P=B_i$$ y $TEX: $Q=B_j$$ . Es facil ver que verifica la condicion Mensaje modificado por xD13G0x el Oct 23 2010, 04:19 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 06:24 PM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Oct 21 2010, 06:48 PM) Hola, ojalá opinen de la prueba aquí mismo. La subo para comentarla, resolverla y obviamente para tenerla en nuestro querido FMAT. Personalmente, la encontré bastante complicada. Quizás no tanto por los problemas, sino que me cabecié bastante con el 1 y el 3. Para el 2, por suerte, se me ocurrió una buena idea. El 1, lo dejé a medias, no se me ocurrió más, y el 3...me mató , bueno, por algo es el problema 3. Igual dejé un esbozo de solución, y un par de ideas. Ojalá mañana la prueba esté más asequible para mí, y pueda cumplir mi objetivo: resolver 3 problemas . Por ahora estoy picado, pues geometría es mi "fuerte". Bueno, basta de palabrerías, tiraré la idea de mi solución para el problema 2: Probaremos por inducción, que para n natural, mayor o igual que 2, se cumple lo siguiente: $TEX: $n^{n}>n!$$ Para 2, nuestra proposición es cierta: 4 es mayor que 2. Luego, por proceso inductivo, asumamos que para un cierto n, la proposición es cierta. Demostraremos entonces que se cumplirá también para el sucesor de n; n+1. $TEX: $n^{n}>n!$$ $TEX: $n^{n}(n+1)>(n+1)!$$ Además; $TEX: $n+1>n$$ $TEX: $(n+1)^n>n^n$$ $TEX: $(n+1)^{n+1}>n^n(n+1)>(n+1)!$$ QED Luego, por el proceso inductvo, hemos demostrado que la primera expresión es mayor que la segunda, para todo n natural, mayor que 1. Nota: Todas las multiplicaciones, y potencias efectuadas en las desigualdades, estan bien definidas, pues n es positivo. Saludos! Posteense un hint pa los que no hicimos el 3 U.U Hay un problema en tu solucion, le falta un pequenio caso, el problema pide ver si $TEX: $10^{10^{10^{10}}}$$ es mayor que $TEX: $(10^{10})!$$ vos lo q demostraste es que $TEX: $n^n > n!$$ para $TEX: $n>1$$ , pero si tomamos $TEX: $n=10^{10}$$ : $TEX: $10^{10^11}=(10^{10})^{10^{10}}>(10^{10})!$$ , te falto aclarar que $TEX: $10^{10^{10^{10}}}>10^{10^11}$$ lo que es trivial . -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 07:55 PM Publicado: #27
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	yo kiero sacarme la duda si lo que hice esta bien sí, ya terminó pero igual $TEX: \[<br />a = 10^{10} \Rightarrow 10^{10^{10^{10} } } = 10^{10^a } \wedge 10^{10} ! = a!<br />\]<br />$ sea las funciones $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> f(a) = 10^{10^a } \hfill \\<br /> g(a) = a! \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\frac{{g(a)}}<br />{{f(a)}}<br />\]<br />$ de modo que si $TEX: \[<br />f(a) > g(a)<br />\]<br />$ converge a 0 probemos si converge entonces: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \frac{{a!}}<br />{{10^{10^a } }}<br />\]<br />$ si derivamos 'a' veces entonces notamos que el numerador converge a 1 mientras que el denominador sigue creciendo de manera que $TEX: \[<br />f(a) > g(a)<br />\]<br />$ demostrando asi que $TEX: \[<br />10^{10^{10^{10} } } > 10^{10} !<br />\]<br />$ Mensaje modificado por fabiannx15 el Oct 23 2010, 07:57 PM -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 08:31 PM Publicado: #28
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(fabiannx15 @ Oct 23 2010, 09:55 PM) yo kiero sacarme la duda si lo que hice esta bien sí, ya terminó pero igual $TEX: \[<br />a = 10^{10} \Rightarrow 10^{10^{10^{10} } } = 10^{10^a } \wedge 10^{10} ! = a!<br />\]<br />$ sea las funciones $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> f(a) = 10^{10^a } \hfill \\<br /> g(a) = a! \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\frac{{g(a)}}<br />{{f(a)}}<br />\]<br />$ de modo que si $TEX: \[<br />f(a) > g(a)<br />\]<br />$ converge a 0 probemos si converge entonces: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \frac{{a!}}<br />{{10^{10^a } }}<br />\]<br />$ si derivamos 'a' veces entonces notamos que el numerador converge a 1 mientras que el denominador sigue creciendo de manera que $TEX: \[<br />f(a) > g(a)<br />\]<br />$ demostrando asi que $TEX: \[<br />10^{10^{10^{10} } } > 10^{10} !<br />\]<br />$ El problema es que l'hôpital se define para limite de funciones, aca estas derivando un factorial... como definirias por ejemplo $TEX: $\pi !$$ -------------------- blep

garucho Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2010, 10:27 PM Publicado: #29
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 25-June 10 Miembro Nº: 73.207 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1.- 2a²+a=3b²+b sabemos que a>b o a=b=0 en el caso que a>b a(2a+1)=b(3b+1) como a y 2a+1 son coprimos podemos decir que b divide a pero no 2a+1 o alreves entonces 2a²+a=3b²+b 2a²-2b²+a-b=b² 2(a+b)(a-b)+(a-b)=b² (a-b)(2a+2b+1)=b² como a y 2a+1 son coprimos, a-b y 2a+2b+1 son coprimos y su producto es un cuadrado entonces ambos son cuadrados perfectos. 2a²+a=3b²+b 3a²-3b²+a-b=a² 3(a+b)(a-b)+(a-b)=a² (a-b)(1+3a+3b)=a² a-b y 1+3a+3b tambien son coprimos y como su producto es un cuadrado perfecto entonces ambos son cuadrados perfectos. en el caso que a=b=0 la terna 0,1,1 son cuadrados perfectos entonces a-b,1+2a+2b,1+3a+3b son cuadrados perfectos

fabiannx15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2010, 03:33 PM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.169 Registrado: 11-June 08 Desde: rancagua Miembro Nº: 26.922 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Oct 23 2010, 10:31 PM) El problema es que l'hôpital se define para limite de funciones, aca estas derivando un factorial... como definirias por ejemplo $TEX: $\pi !$$ eske bueno aplicando definicion de factoriales tendriamos $TEX: \[<br />a\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)...321<br />\]<br />$ notamos que al derivar 'a' veces esto es 1 -------------------- Richard Fabian Jerez Ex alumno del Liceo Oscar Castro 4ºL matemático Estudiante Ingeniería Civil Mecánica USM ¿Necesitas ayuda para la psu y no tienes dinero?: Agrega a logratus850@hotmail.com y comienza a preguntar! Somos un grupo de universitarios dispuestos a ayudarte de manera gratuita para que logres tus sueños, todos tuvimos como promedio más de 800 puntos en la PSU. Team PSU 2010!! Únete! [color="#000080"][/color]

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