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I2 Análisis Real, 2S 2010

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2011, 04:20 PM Publicado: #1
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Interrogación II \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $(X,\rho)$ y $(Y,\sigma)$ espacios metricos. En $Z = X \times Y$ se define la métrica $\tau((x,y),(\bar x,\bar y))= {\text{max}}(\rho(x,\bar x),\sigma(y,\bar y))$<br />\begin{enumerate}<br /> \item Demostrar que si $(X,\rho)$ y $(Y,\sigma)$ son completos entonces $(Z,\tau)$ es completo.<br /> \item Demostrar que si $(X,\rho)$ y $(Y,\sigma)$ son compactos entonces $(Z,\tau)$ es compacto.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $X = \left\{ {f \in C[0,1]:\|f(x)\| \leqslant 1} \right\}$ y $\rho(f,g)={\text{ma}}{{\text{x}}_{x \in [0,1]}}\|f(x) - g(x)\| $.<br /><br />\begin{enumerate}<br /> \item Demostrar que $(X,\rho)$ es completo.<br /> \item Demostrar que existe una función $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que <br />$$f(x) = \int_0^x {\int_0^y {f(t){\text{sen}}(y)dtdy + \frac{1}<br />{2}\cos (x)} } $$<br /><br />más aún $f$ es continua y $\|f(x)\|\leqslant 1$ para todo $x$ en $[0,1]$.<br /> <br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ continua tal que ${\text{li}}{{\text{m}}_{x \to \infty }}f(x) = A$. Demostrar que $f$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$.<br /><br />\item \begin{enumerate} \item Dar un ejemplo de un espacio métrico que no sea totalmente acotado.<br /> \item Demostrar que si $F:X \to Y$ es uniformemente continua y X es totalmente acotado entonces $F(X)$ también es totalmente acotado. <br />\end{enumerate}<br /><br />\end{enumerate}<br />$ --------------------

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2012, 03:48 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1: 1.a) Sea $TEX: $\{z_n\}\subset Z$$ una sucesión de Cauchy en $TEX: $Z$$ . Dado $TEX: $n\in \mathbb{Z}^+$$ , escribamos $TEX: $z_n=(x_n,y_n)$$ . Como $TEX: $x_n,y_n\leq z_n$$ , se cumple que $TEX: $\{x_n\}, \{y_n\}$$ son sucesiones de Cauchy en $TEX: $X,Y$$ , respectivamente. Como $TEX: $(X,\rho)$$ e $TEX: $(Y, \sigma)$$ son completos, $TEX: $\exists x\in X, y\in Y$$ tales que $TEX: $x_n\to x$$ e $TEX: $y_n\to y$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Sea $TEX: $z=(x,y)\in Z$$ . Demostraremos que $TEX: $z_n\to z$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Dado $TEX: $\epsilon>0$$ , sean $TEX: $N_1,N_2\in \mathbb{Z}^+$$ tales que si $TEX: $n>N_1$$ entonces $TEX: $\rho(x,x_n)<\epsilon$$ y si $TEX: $n>N_2$$ entonces $TEX: $\sigma(y,y_n)<\epsilon$$ . Si $TEX: $n>max\{N_1,N_2\}$$ entonces $TEX: $\rho(x,x_n)<\epsilon$$ y $TEX: $\sigma(y,y_n)<\epsilon$$ . Luego $TEX: $\tau(z,z_n)= max\{\rho(x,x_n), \sigma(y,y_n)\}<\epsilon$$ . Por lo tanto $TEX: $z_n\to z$$ . Como cada sucesión de Cauchy en $TEX: $Z$$ converge a un punto es $TEX: $Z$$ se concluye que $TEX: $(Z,\tau)$$ es completo. $TEX: $\square$$ 1.b) Sea $TEX: $\{z_n\}\subset Z$$ una sucesión. Dado $TEX: $n\in \mathbb{Z}^+$$ , escribamos $TEX: $z_n=(x_n,y_n)$$ . Como $TEX: $(X,\rho)$$ es compacto, la sucesión $TEX: $\{x_n\}$$ posee una subsucesión $TEX: $\{x_{v_k}\}$$ convergente a $TEX: $x\in X$$ . Definamos $TEX: $\{x'_k\}\subset X$$ tal que $TEX: $x'_k=x_{v_k}$$ . Del mismo modo, sea $TEX: $\{y'_k\}\subset Y$$ tal que $TEX: $y'_k=y_{v_k}$$ . Como $TEX: $(Y,\sigma)$$ es compacto, $TEX: $\{y'_k\}$$ posee una subsucesión $TEX: $\{y'_{\lambda_i}\}$$ convergente a $TEX: $y\in Y$$ . Como $TEX: $x'_j\to x$$ cuando $TEX: $k\to \infty$$ , se sigue que $TEX: $x'_{\lambda_i}\to x$$ cuando $TEX: $i\to \infty$$ . Luego, $TEX: $(x'_{\lambda_i},y'_{\lambda_i})$$ es una subsucesión de $TEX: $(x_n,y_n)$$ que converge a $TEX: $(x,y)\in Z$$ . Por lo tanto $TEX: $(Z,\tau)$$ es compacto. $TEX: $\square$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2012, 06:17 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 4: 4.a) Sea $TEX: $\ell_2:=\{\{x_n\}:\sum_{n=1}^{\infty} x^2_n<\infty\}$$ y $TEX: $\rho$$ la métrica inducida por la norma $TEX: $\|\|\{x_n\}\|\|_2=\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}x^2_n}$$ . Sea $TEX: $0<\epsilon<\sqrt{2}/2$$ , y consideremos una sucesión $TEX: $\{\textbf{e}_n\}\subset \ell_2$$ de modo que si $TEX: $\textbf{e}_n=\{e^{(n)}_k\}$$ , entonces $TEX: $e^{(n)}_k=0$$ si $TEX: $k\not=n$$ y $TEX: $e^{(n)}_k=1$$ si $TEX: $k=n$$ . Vea que si $TEX: $m\not = n$$ , entonces $TEX: $\rho(\textbf{e}_m,\textbf{e}_n)=\sqrt{2}$$ . Luego, $TEX: $\textbf{e}_m$$ y $TEX: $\textbf{e}_n$$ pertenecen a bolas de radio $TEX: $\epsilon$$ disjuntas independiente de los centros que se ocupen. Por ende, no es posible cubrir $TEX: $(\ell_2,\rho)$$ con una cantidad finita de bolas de radio $TEX: $\epsilon$$ , es decir, $TEX: $(\ell_2,\rho)$$ no es totalmente acotado. $TEX: $\square$$ 4.b) Sea $TEX: $\epsilon>0$$ . Como $TEX: $F$$ es uniformemente continua, $TEX: $\exists \delta>0$$ tal que $TEX: $F(B(x;\delta))\subset B(F(x);\epsilon), \forall x\in X$$ Como $TEX: $X$$ es totalmente acotado, $TEX: $\exists n\in \mathbb{Z}^+, c_1,...,c_n\in X$$ tales que $TEX: $X\subset \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B(c_k;\delta)$$ . Luego, se cumple que $TEX: $F(X)\subset \displaystyle \bigcup_{k=1}^n F(B(c_k;\delta))\subset \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B(F(c_k);\epsilon)$$ Por lo tanto $TEX: $F(X)$$ es totalmente acotado. $TEX: $\square$$ 2.a) Notar que $TEX: $[-1,1]$$ es cerrado en $TEX: $\mathbb{R}$$ (el cual es completo), de donde $TEX: $[-1,1]$$ es completo. Usando el hecho que si $TEX: $(A,\rho_A)$$ es un espacio métrico cualquiera y que $TEX: $(B, \rho_B)$$ es un espacio métrico completo implica que $TEX: $C(A,B)$$ también sea completo, se concluye. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 27 2012, 09:08 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2013, 09:54 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Preparando la I1 que se viene el miércoles... 2b) Defina $TEX: $T:(X,\rho)\to (X,\rho)$$ tal que si $TEX: $f\in X$$ y $TEX: $x\in [0,1]$$ , entonces $TEX: $T(f)(x)=\dfrac{1}{2}\cos(x)+\displaystyle \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} f(t)\sin(t)dtdy$$ Se probará que efectivamente $TEX: $T(X)\subset X$$ . Es sencillo ver que $TEX: $T(f)\in C[0,1]$$ y como $TEX: $\|f(x)\|\leq 1,\forall x\in[0,1]$$ , se cumple que $TEX: $\|T(f)(x)\|\leq \dfrac{1}{2}\|\cos(x)\|+\displaystyle \int_0^x \int_0^y \|f(t)\sin(t)\|dtdy$$ Como $TEX: $\|f(t)\sin(t)\|\leq 1$$ , entonces la integral se puede acotar por $TEX: $\int_0^x \int_0^y 1dxdy=\frac{1}{2}x^2$$ , luego $TEX: $\|T(f)(x)\|\leq \dfrac{1}{2}\|\cos(x)\|+\dfrac{1}{2}x^2\leq 1,\forall x\in [0,1]$$ Con esto se sigue que $TEX: $T(f)\in X,\forall f\in X$$ y se obtiene que $TEX: $T(X)\subset X$$ . A continuación, vea que si $TEX: $f,g\in X$$ , entonces $TEX: $d(T(f),T(g))\leq \displaystyle \max_{x\in[0,1]} \displaystyle \int_0^x \int_0^y \|\sin(t)\|\|f(t)-g(t)\|dtdy$$ Como $TEX: $(\forall t\in[0,1])((\|f(t)-g(t)\|\leq d(f,g))\wedge \|\sin(t)\|\leq 1)$$ , se sigue que $TEX: $d(T(f),T(g))\leq \displaystyle \max_{x\in[0,1]} \dfrac{1}{2}x^2d(f,g)=\dfrac{1}{2}d(f,g)$$ Esto significa que $TEX: $T$$ es una contracción de $TEX: $(X,\rho)$$ (el cual es completo por lo demostrado anteriormente) en sí mismo, y por el Teorema del Punto Fijo de Banach, se sigue $TEX: $T$$ posee un único punto fijo. $TEX: $\blacksquare$$ Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Mar 30 2013, 09:56 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

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