 I3 Análisis Real, 2S 2010 |
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 Jan 5 2011, 04:21 PM
Publicado:
#1
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 Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008  Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Interrogación III \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Enunciar y demostrar el teorema del test-M de Weierstrass.<br /><br />\item Sea $$f(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{1}{{{n^3} + {n^2}{x^2}}}} $$<br /><br />¿En qué puntos existe $\int_0^x {f(t)dt} $?<br />¿En qué puntos existe $f'(x)$?<br /><br />\item Demuestre que no existe una sucesión ${f_{n}}$ de funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tal que $$\mathop {{\text{inf}}}\limits_n |{f_n}(x)| = 0$$ si y sólo si x es racional.<br /><br />Para esto:<br /><br />\begin{enumerate} <br />\item Demuestre que si ${\text{in}}{{\text{f}}_n}|{f_n}(x)| = 0$ para todo racional entonces ${A_{nm}} = \left\{ {x \in \mathbb{R} :|{f_n}(x)| < 1/m} \right\}$ y ${B_m} = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {{A_{nm}}}$ son abiertos y los racionales están contenidos en todo $B_m$<br /><br /> \item Demuestre que si ${\text{in}}{{\text{f}}_n}|{f_n}(x)| = 0$ para todo racional entonces el conjunto de puntos en que ${\text{in}}{{\text{f}}_n}|{f_n}(x)| = 0$ es un conjunto de segunda categoría y concluya lo pedido.<br />\end{enumerate}<br /><br /><br />\item Sean $f_{n}$,$g \in C([0,1])$ tal que $f_{n}(1/2)=1$, $|f_{n}(x)-f_{n}(y)| \leqslant 5|x-y|$ y<br /><br />$$\int_0^1 {{f_n}(x)g(x)dx} = 1 + 1/n{\text{ para todo }}n \in \mathbb{N}$$<br /><br />Demostrar que existe $f \in C([0,1])$ tal que $|f(x)-f(y)| \leqslant 5|x-y|$ y<br />$$\int_0^1 {f(x)g(x)dx} = 1 $$<br /><br />\end{enumerate}<br />](./tex/5406fc4da588bba3eaef788c76cf93bf.png) --------------------  |
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Mar 24 2011, 05:22 PM
Publicado:
#2
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Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 29-September 08 Desde: Chile Miembro Nº: 35.149 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
El problema que nunca hice:
CITA(CyedqD @ Jan 5 2011, 05:21 PM)   ![TEX: Cada $f_n$ es continua y $(-1/m,1/m)$ es abierto, luego todos los $A_{nm}=f_{n}^{-1}(]-1/m,1/m[)$ son abiertos. Además los $B_n$ son uniones de abiertos por lo que también lo son.\\<br /><br />Sea $q$ un racional, se tiene que $\displaystyle\inf_{n}|f_n(q)|=0$, luego para todo natural $m$ existe un $n(m)$ tal que $$|f_{n(m)}(q)|<1/m$$ por lo que $q$ está en $A_{n(m) m}$ y se sigue que $$q\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{nm}=B_{m}$$<br />Por lo tanto cada $B_m$ contiene a los racionales. Esto implica que cada $B_m$ es denso en $\mathbb{R}$.\\<br /><br />Sea $$\Omega=\{x\in\mathbb{R}:\displaystyle\inf_{n}|f_n(x)|=0\}$$tenemos que $\displaystyle\Omega=\bigcap_{m\in\mathbb{N}}B_m$ pues <br />$$x\in\Omega\Leftrightarrow\inf_n |f_n(x)|=0\Leftrightarrow \forall m, \exists n(m) : |f_{n(m)}(x)|<1/m\Leftrightarrow x\in B_m (\forall m)$$<br />Como los $B_m$ son abiertos densos, se tiene que $\displaystyle\Omega^c=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}B_m^c$ es de primera categoría. Pero $\mathbb{R}=\Omega\cup\Omega^c$ es de segunda categoría (Baire), así que $\Omega$ es de segunda categoría.\\<br /><br />Se concluye que si $\{f_n\}$ es una sucesión de funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tales que $$\mathop {{\text{inf}}}\limits_n |{f_n}(x)| = 0$$ para $x$ racional, entonces también cumple esa propiedad para un conjunto no menor de $x$ irracionales.<br />](./tex/b9493312716e1ecb2ddc05936d4ce7cf.png) |
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