 Ideales Primos, Zariski (: |
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 Feb 1 2011, 08:34 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 824 Registrado: 15-October 07 Desde: Valparaíso Miembro Nº: 11.342 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
 Así, los conjuntos  satisfacen los axiomas de los conjuntos cerrados en un espacio topológico. La topología obtenida se llama la Topología de Zariski, y el espacio topológico  es denotado por  .Saludos. -------------------- Pedro P. Montero Silva Estudiante de Licenciatura en Ciencias, Mención Matemática - Mechón 2009 "One rather curious conclusion emerges, that pure mathematics is on the whole distinctly more useful than applied. A pure mathematician seems to have the advantage on the practical as well as on the aesthetic side. For what is useful above all is technique, and mathematical technique is taught mainly through pure mathematics." G.H. Hardy |
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Feb 11 2011, 06:01 PM
Publicado:
#2
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Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 101 Registrado: 27-October 07 Miembro Nº: 11.879 Nacionalidad: Sexo: |
Es bonita esta materia, yo ya lo hice pero a quienes nunca han hecho estas verificaciones las recomiendo y posteen sus respuestas.
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Apr 19 2011, 12:10 AM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo: |
Es simpatico el asunto, pero para avanzar mas alla la topologia de Zariski no basta en esquemas en general. Es necesario hablar de sitios si es que uno quiere tener buenas teorias de cohomologia, eso si que es bonito.
Seria bueno que alguien ponga la verificacion y ademas la verificacion analoga para el caso del espectro homogeneo de un anillo graduado. Es muy parecido (conocido como Proj S cuando S es el anillo graduado). Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.
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Nov 15 2020, 05:49 PM
Publicado:
#4
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo: |
![TEX: \begin{itemize}<br /> \item [1.] Sea $P$ un ideal primo que contiene a $E$, luego por definición de $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{a}\subset P$ y por tanto $V(E)\subset V(\mathfrak{a})$. Si $P$ es un ideal primo que contiene a $\mathfrak{a}$ entonces también contiene a $r(\mathfrak{a})$ pues $r(\mathfrak{a}) = \{r\in A : \ \exists n\in\mathbb{N}, \ r^n\in \mathfrak{a}\}$, luego si $r\in r(\mathfrak{a})$ entonces existe $n$ tal que $r^n\in \mathfrak{a}\Rightarrow r^n\in P$ luego como $P$ es primo concluimos que $r\in P$, de esta manera $V(\mathfrak{a})\subset V(r(\mathfrak{a}))$. Finalmente, si $P$ es un ideal primo que contiene a $r(\mathfrak{a})$, como $E\subset \mathfrak{a}\subset r(\mathfrak{a})$ entonces $E\subset P$ luego $V(r(\mathfrak{a}))\subset V(E)$. De esta manera, $V(E) = V(\mathfrak{a}) = V(r(\mathfrak{a}))$.<br /> \item [2.] Es evidente que cualquier ideal primo contiene al 0, entonces $V(0) = X$ mientras que ningún ideal primo es igual al anillo completo, luego ninguno contiene al 1, así que $V(1) = \emptyset$.<br /> \item [3.] Si $P$ es un ideal primo que contiene a $\bigcup_{i\in I}E_i$ ssi $E_i\subset P$ para todo $i\in I$ ssi $P\in V(E_i)$ para todo $i\in I$ ssi $P\in\bigcap_{i\in I} V(E_i)$, luego $V(\bigcup_{i\in I}E_i) = \bigcap_{i\in I} V(E_i)$.<br /> \item [4.] Como sabemos que $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subset \mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$ sigue que $V(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})\subset V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$, además si $P$ es un ideal primo que contiene a $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$, supongamos que ni $\mathfrak{a}$ ni $\mathfrak{b}$ están contenidos en $P$ así que existen $a\in\mathfrak{a}$ y $b\in\mathfrak{b}$ tales que $a,b\notin P$, luego como $P$ es primo necesariamente $ab\notin P$ pero contradice que $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subset P$, de esta manera $\mathfrak{a}$ o $\mathfrak{b}$ está contenido en $P$ así que $P\in V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$ y entonces $V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\subset V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$. Por último, como $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}\subset \mathfrak{a}$ y $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}\subset\mathfrak{b}$ entonces $V(\mathfrak{a})\subset V(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$ y $V(\mathfrak{b})\subset V(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$ y así $V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})\subset V(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$. Concluimos que $V(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$.<br />\end{itemize}](/tex-image/a5084ae64bc50afd30075a9c264d4430.png)
-------------------- Hago clases particulares (activo 2024).
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