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I2 Análisis Real, 2S 2011

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2011, 03:58 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Interrogación II - Viernes 21 de Octubre de 2011\end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sea $(X, d)$ espacio métrico. <br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sean $F,K$ subconjuntos de $X$. Demuestre que si $F$ es cerrado y $K$ es compacto, entonces $F \cap K$ es compacto.<br /><br />\item Sea $\mathcal{F}$ una colección infinita de subconjuntos compactos de $X$. Demuestre que $\displaystyle\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$ es un conjunto compacto.<br /><br />\item Demuestre que la unión de un número finto de subconjuntos compactos de $X$ es un conjunto compacto.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $(X,\rho)$ espacio métrico y sea $A\subset X, A \neq\emptyset$ y sea $x\in X$. Demuestre que si $A$ es compacto, entonces existe $a\in A$ tal que $\rho(x, A) = \rho(x,a)$.<br /><br />\item Sea $A\subset \mathbb{R}^N$. Demuestre que $A$ es compacto si y sólo si toda función continua $f:A\to\mathbb{R}$ es acotada.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Enuncie y demuestre el Teorema de Baire.<br /><br />\item Sea $\{f_n\}$ sucesión de funciones reales crecientes definidas en el intervalo cerrado $[a,b]$ y suponga que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)$ existe para cada $x\in[a,b]$ y que $f$ es continua en $[a,b]$. Demuestre que $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $[a,b]$. (Sugerencia: Deduzca y use que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$).<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2011, 05:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 $TEX: \begin{enumerate}<br />\item $F\cap K$ es un cerrado contenido en $K$ y por ende es compacto.<br />\item La intersección de cerrados es cerrada y está contenida en un compacto, luego es compacta.<br />\item Sea $(G_\alpha)_{\alpha\in J}$ un cubrimiento abierto de la unión. Entonces éste es un cubrimiento abierto de cada compacto y por ende, para cada uno, existe una cantidad finita de dichos abiertos que lo cubre. Así, existe una cantidad finita de abiertos que los cubren a todos y por ende, a su unión.<br />\end{enumerate}$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2018, 10:29 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P2 $TEX: a) Directo pues $\rho(x , \cdot)$ es continua y como $A$ es compacto, alcanza su mínimo en el conjunto.<br /><br />b) $\Rightarrow)$ Como $f$ es continua y $A$ es compacto entonces $f(A)$ es compacto en $\mathbb{R}$ de donde sigue que es acotado.<br /><br />$\Leftarrow)$ Como se trata de $\mathbb{R}^n$, basta chequear que es cerrado y acotado, si tomamos $f(x)=\\| x \\|$, vemos que $A$ es acotado, para ver que es cerrado, supongamos que no lo es, i.e. existe $y\in \overline{A}$ tal que $y\notin A$, luego $\forall \epsilon >0, \exists x\in A: \\| x-y \\|<\epsilon$ $(\ast)$, luego podemos definir $g(x)=\frac{1}{\\| x-y \\|}$ continua en $A$, pero claramente no es acotada por $(\ast)$, contradicción, luego $A$ es cerrado y acotado, por tanto compacto $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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