 I3 Análisis Real, 2S 2011 |
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 Nov 18 2011, 12:35 PM
Publicado:
#1
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 Staff Fmat  Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Interrogación III - Viernes 11 de Noviembre de 2011\end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item <br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua y para cada $n\in\mathbb{N}$ defina $f_n(x)=(1-x)^ng(x)$. Demuestre que $\{f_n\}$ converge uniformemente en $[0,1]$ si y sólo si $g(0) = 0$.<br /><br />\item Sea $f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ definida por <br /><br />\begin{center} $f_n(x) = \displaystyle\frac{nx}{1+n^2x^p}, p>0.$\end{center}<br /><br />Determine los valores de $p$ para los cuales la sucesión $f_n$ converge uniformemente a su límite $f$.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $f_n:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas y diferenciables tales que para todo $n\in\mathbb{N}$ y para todo $x\in[a,b]$ se tiene $f_n(a)=1, |f_n'(x)|\le 1$ y <br /><br />\begin{center}$\sin(x)+\displaystyle\frac{x}{n}=\int_a ^b g(x,y)f_n(y)dy$,\end{center}<br /><br />donde $g$ es una función continua en $\mathbb{R}^2$. Pruebe que existe una función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que<br /><br />\begin{center}$\displaystyle\sin(x)=\int_a ^b g(x,y)f(y)dy$ para todo $x\in[a,b]$.\end{center}<br /><br />\item Sea $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^N$ y sea $f:K\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua. Demuestre que existe una función continua $g:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ tal que <br /><br />\begin{enumerate}<br />\item $f(x) = g(x)$ para todo $x\in K$,<br />\item $g(x) = 0$ en el exterior de una bola suficientemente grande, y<br />\item $\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|g(x)| = \sup_{x\in K}|f(x)|.$<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Demuestre que $f\in C[a,b]$ se puede aproximar uniformemente por una sucesión de polinomios pares si y sólo si $0\notin(a,b)$.<br />\end{enumerate}<br />](/tex-image/51af3c06fa923a38d0564720e5ce828e.png)
-------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Nov 18 2011, 03:27 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
P1a
![TEX: \noindent Como $g$ es continua y $[0,1]$ es compacto, existe $M=\max_{x\in[0,1]}|g(x)|$. Sea $x\in]0,1]$, entonces se tiene que <br />$$|f_n(x)|=|1-x|^n|g(x)|\le M|1-x|^n\to 0,$$<br />si $n\to\infty$ y por ende, $f_n(x)\to 0$. También notamos que $f_n(0)=g(0),\forall n\in\mathbb N$.\\<br />\\<br />Así, si $f_n\rightrightarrows f$, como cada $f_n$ es continua, $f$ también debe serlo y por ende, <br />$$0=f(0)=\lim_{n\to\infty}f_n(0)=g(0).$$<br />Recíprocamente, si $g(0)=0$, entonces $f_n\to 0$ puntualmente. Luego, como $[0,1]$ es compacto y $(f_n(x))_n$ es una sucesión monótona para cada $x\in[0,1]$, por el Teorema de Dini, se tiene que la convergencia es uniforme.$\quad\square$<br />](/tex-image/12101c20075609d7bc527067ef720331.png) P2 ![TEX: \noindent Sean $x,y\in[a,b]$. Por el Teorema del Valor Medio se tiene que<br />$$|f_n(x)-f_n(y)|=|f_n'(\xi)||x-y|\le|x-y|.$$<br />De aquí sigue que la familia $(f_n)_n$ es equicontinua y en particular, tomando $y=a$, podemos concluir que<br />$$|f_n(x)|\le|x-a|+|f_n(a)|=(x-a)+1\le 2,$$<br />es decir, son uniformemente acotadas.<br />Así, por el Teorema de Arzelà-Ascoli, existe una subsucesión $(f_{n_k})_k$ que converge uniformemente a $f$ y además, como cada $f_{n_k}$ es continua, se tiene que $f$ también lo es. Luego, para cada $x\in[a,b]$ se tiene que<br />\begin{equation*}\begin{aligned}<br />\left|\int_a^b g(x,y)f_{n_k}(y)dy-\int_a^b g(x,y)f(y)dy\right|<br />&\le\int_a^b|g(x,y)||f_{n_k}(y)-f(y)|dy\\<br />&\le\underbrace{\sup_{t\in[a,b]}|f_{n_k}(t)-f(t)|}_{\to 0, \text{ cuando }k\to\infty}\underbrace{\int_a^b|g(x,y)|dy}_{<\infty}.<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />y por ende, tomando límite en la igualdad que satisfacen las funciones $f_{n_k}$, se concluye que<br />$$\sin x=\int_a^b g(x,y)f(y)dy,\quad\forall x\in[a,b].\quad\square$$<br />](/tex-image/f4c4c0fb2790b24893eb43601a647826.png) P4 ![TEX: \noindent Si $0\not\in]a,b[$, entonces $0\le a\le b$ ó $a\le b\le 0$ y el resultado es inmediato del teorema de Stone-Weierstrass pues los polinomios pares conforman un álgebra que separa puntos.\\<br />\\<br />Por otro lado, si $0\in]a,b[$, entonces existe $c\in[a,b]\smallsetminus\{0\}$ tal que $-c\in[a,b]$. Así, dada $f\in C[a,b]$ y una sucesión $(p_n)_n$ de polinomios pares tales que $p_n\rightrightarrows f$, entonces <br />$$f(-c)=\lim_{n\to\infty}p_n(-c)=\lim_{n\to\infty}p_n©=f©.$$<br />Pero basta con tomar $f(x)=x^3$ para ver que esto no necesariamente es cierto.$\quad\square$<br />](/tex-image/538c19082a9afbb92b06bc5df1ca0109.png)
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![TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]](./tex/e0e88dba678ca3ead120b088f41191b2.png)
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