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E Análisis Real, 2S 2011

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2011, 06:41 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT2515 - Análisis Real\\<br />Examen - Lunes 28 de Noviembre de 2011\end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Sea $(X, d)$ espacio métrico compacto y sean $f, f_n, n\in\mathbb{N}$, funciones continuas en $X$ tales que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)$ para todo $x\in X$. Suponga que existe $C>0$ tal que para todo $x\in X$ y todo $n,m\in\mathbb{N}$ se tiene<br /><br />\begin{center}<br />$\|f(x)-f_{n+m}(x)\|\le C\|f(x)-f_n(x)\|$.<br />\end{center}<br /><br />Demuestre que $f_n$ converge uniformemente a $f$.\\<br /><br />\item Sea $X=\{f:[-1,1]\to\mathbb{R}\|f$ es continua$\}$ con la métrica $d(f,g) = \displaystyle\left(\int_{-1}^{1}\|f(x)-g(x)\|^2dx\right)^2$. Sea $Y=\{f\in X\| f$ es polinomio$\}$. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item $Y$ es completo en $(X, d)$.<br />\item $Y$ es denso en $(X,d)$.<br />\item El interior de la clausura de $Y$ es vacío.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $(X, d)$ un espacio métrico arbitrario y $K$ un subconjunto cerrado y acotado de $X$, $K\neq X, K\neq \emptyset$. Sea $K^c$ el complemento de $K$. Demuestre que si $p\in K^c$, entonces existe $r>0$ tal que $d(p,x)\ge r$ para todo $x\in K$.<br /><br />\item Sea $X$ el espacio vectorial $X=\displaystyle\{\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{R}\|\sum_{n=1}^{\infty}\|a_n\|<\infty\}$ dotado de la norma<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle\|\|\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\|\|=\sum_{n=1}^{\infty}\|a_n\|$<br />\end{center}<br /><br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br />\noindent Sea $M=\{\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\in X\|a_n=0 \forall n\ge 3\}$. Si se define $T:M\to\mathbb{R}$ como $T(\{a_n\}_{n=1}^{\infty})=a_1+a_2$.\\<br /><br /><br />\noindent $(a)$ Calcular $\|\|T\|\|$.\\<br /><br />\noindent $(b)$ Si $N=\{\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\in X\|a_n=0\forall n\ge 4\}$, describir todas las funciones lineales $S:N\to\mathbb{R}$ tales que $S(\{a_n\}_{n=1}^{\infty})=T(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}) si \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\in M$ y $\|\|S\|\|=\|\|T\|\|$.<br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 2 2011, 07:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P3: Por ser K cerrado y acotado usamos distancia del punto al conjunto, dividimos por dos y tenemos una bolita contenida en el complemento. Detalles al lector -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2018, 10:03 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: Sea $\epsilon > 0$. Definamos los conjuntos $E_n = \{ x\in X : \|f(x) - f_n(x)\|<\frac{\epsilon}{C} \}$, vemos que $X=\bigcup_n E_n$, puesto que se tiene conv. puntual $\forall x\in X$, luego, como los $E_n$ son abiertos, por compacidad existen $n_1, ..., n_k\in \mathbb{N}$ tales que $X=\bigcup_{i=1}^{k}E_{n_i}$, de esto escogemos $\displaystyle n_0 = \text{máx}_{i=1,..,k} \ n_i$ y vemos que si $x\in X\Rightarrow \exists j\in \{ 1,..,k \}$ tal que $x\in E_{n_j}$ luego $\|f(x)-f_{n_j}(x)\|<\frac{\epsilon}{C}$, luego, sea $n\geq n_0$, vemos que, como $n>n_j$, por la condición del enunciado entonces se tiene que $\|f(x)-f_n(x)\|<C\|f(x)-f_{n_j}(x)\|<C\cdot\frac{\epsilon}{C}=\epsilon$, de donde se sigue que la convergencia es uniforme $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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