Muy grande o muy chica - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Análisis

Reply to this topic

Start new topic

Muy grande o muy chica

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2011, 03:17 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $\Omega$ un conjunto no vacío. Muestre que si $\mathcal F$ es una tribu sobre $\Omega$, entonces $\mathcal F$ es finita o infinita no numerable.$ $TEX: \noindent Razonar sobre $f:\Omega\to\mathcal F$ dada por $f(x)=\displaystyle\bigcap_{\substack{x\in A\\ A\in\mathcal F}}A.$$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 6 2012, 05:05 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	Supongamos que la tribu es numerable: Por lo tanto la función f(x) definida por abu-khalil es bien definida. Y notemos que satisface las siguientes propiedades: 1) Para cada x en el conjunto, se tiene que f(x) pertenece a la tribu. 2) si A es un conjunto de la tribu se tiene que $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiabg2<br />% da9maatafabaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaWcbaGaamiEaiab<br />% gIGiolaadgeaaeqaniablQIivbaaaa!3FF5!<br />\[<br />A = \bigcup\limits_{x \in A} {f(x)} <br />\]<br />$ de la propiedad dos y de la numerabilidad de la tribu se concluye que existen $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa<br />% aaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqa<br />% aOGaaiilaiaadIhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaGccaGGSaGaaiOlai<br />% aac6cacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGa<br />% amiEamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacYcacaGGUaGaaiOlaiaac6<br />% cacaGGUaGaeyicI4SaaGPaVlaaykW7caWGVbGaamyBaiaadwgacaWG<br />% NbGaamyyaaaa!52E4!<br />\[<br />x_1 ,x_2 ,x_3 ,........,x_n ,.... \in \,\,omega<br />\]<br />$ (notemos que la cantidad de estos elementos debe ser infinita, de ser finita por la siguiente propiedad se seguiria que la tribu es finita) Tales que cada conjunto B de la tribu se escribe $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaiabg2<br />% da9maatadabaGaamOzaiaacIcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad6gacaGG<br />% OaGaamyAaiaacMcaaeqaaOGaaiykaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaig<br />% daaeaacqGHEisPa0GaeSOkIufaaaa!441E!<br />\[<br />B = \bigcup\nolimits_{i = 1}^\infty {f(x_{n(i)} )} <br />\]<br />$ Tenemos la siguiente propiedad: $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbiqaaaGbcaWGMb<br />% GaaiikaiaadIhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGPaGaeyykICSa<br />% amOzaiaacIcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaaiykaiabg2<br />% da9iabgwGiglaaykW7caaMc8UaaGPaVlaadohacaWGPbGaaGPaVlaa<br />% d2gacqGHGjsUcaWGPbaaaa!4E9A!<br />\[<br />f(x_i ) \cap f(x_m ) = \emptyset \,\,\,si\,m \ne i<br />\]<br />$ En efecto, si $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI<br />% cacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaiabgMIihlaadAga<br />% caGGOaGaamiEamaaBaaaleaacaWGTbaabeaakiaacMcacqGHGjsUcq<br />% GHfiIXcaaMc8UaaGPaVlaaykW7caWGZbGaamyAaiaaykW7caWGTbGa<br />% eyiyIKRaamyAaaaa!4F52!<br />\[<br />f(x_i ) \cap f(x_m ) \ne \emptyset \,\,\,si\,m \ne i<br />\]<br />$ existiria un $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI<br />% cacaWG5bGaaiykaiabgkOimlaadAgacaGGOaGaamiEamaaBaaaleaa<br />% caWGPbaabeaakiaacMcacqGHPiYXcaWGMbGaaiikaiaadIhadaWgaa<br />% WcbaGaamyBaaqabaGccaGGPaaaaa!4597!<br />\[<br />f(y) \subset f(x_i ) \cap f(x_m )<br />\]<br /><br />$ Por lo tanto, por la forma que esta definida f tenemos que $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa<br />% aaleaacaWGPbaabeaakiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqa<br />% aOGaeyicI4SaamOzaiaacIcacaWG5bGaaiykaiabgkziUkaadAgaca<br />% GGOaGaamyEaiaacMcacqGH9aqpcaWGMbGaaiikaiaadIhadaWgaaWc<br />% baGaamyAaaqabaGccaGGPaGaeyypa0JaamOzaiaacIcacaWG4bWaaS<br />% baaSqaaiaad2gaaeqaaOGaaiykaaaa!4FB2!<br />\[<br />x_i ,x_m \in f(y) \to f(y) = f(x_i ) = f(x_m )<br />\]<br />$ Ya que $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI<br />% cacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaiaacYcacaWGMbGa<br />% aiikaiaadIhadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccaGGPaaaaa!3F6B!<br />\[<br />f(x_i ),f(x_m )<br />\]<br />$ son los conjuntos de la tribu mas pequeño que contienen a $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa<br />% aaleaacaWGPbaabeaakiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqa<br />% aaaa!3AD9!<br />\[<br />x_i ,x_m <br />\]<br /><br />$ respectivamente. Finalmente tenemos que existe una particion numerable cuyas uniones numerables genera la tribu, lo que implica que la tribu no es numerable. Saludos Mensaje modificado por febomon el Feb 7 2012, 10:16 AM

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 6 2012, 06:04 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $R=\Omega$$ ! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 10:15 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Feb 7 2012, 08:34 AM) $TEX: $R=\Omega$$ ! Lo edite, gracias por corregir el error. Espero que ahora este correcto. saludos

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 11:27 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(febomon @ Feb 6 2012, 05:05 PM) Por lo tanto, por la forma que esta definida f tenemos que $TEX: <br />\[<br />x_i ,x_m \in f(y)<br />\]<br />$ Eso no tiene por qué ser cierto. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 11:32 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Krebante @ Feb 8 2012, 01:57 AM) Eso no tiene por qué ser cierto. en realidad si es cierto pero me falto argumentar correctamente, es cierto porque de no estar los x_i, x_m en f(y), al ser f(y) en la tribu su complemento tb lo esta, y entonces los x_i , x_m estan en f(y) complemento y por lo tanto f(x_i) y f(x_m) estan contenidos en f(y) complemento lo que contradice que f(y) esta contenido en la interseccion Mensaje modificado por febomon el Mar 1 2012, 10:14 PM

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 11:56 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	Otra solución $TEX: <br />Sea $\mathcal F$ una tribu infinita, en particular debe existir $A_1\in \mathcal F\setminus \{ \Omega,\phi \}$<br />entonces algunos de las siguientes tribus son infinitas<br />$$A_1\cap \mathcal F:=\{ A\cap B: B\in \mathcal F \}$$ <br />$$A_1^c \cap \mathcal F:=\{ A^c \cap B: B\in \mathcal F \}$$<br />En efecto, si ambas fueran finitas, todo elemento $B$ de la tribu $\mathcal F$ se podria escribir como <br />$B=(A\cap B )\cup (A^c \cap B)$, lo que implica que $\mathcal F$ es finito.\\<br />Sin perdida de generalidad $A_1 \cap \mathcal F$ es inifito.\\Aplicando el mismo procedimiento a esta tribu obtenemos $A_2\in \mathcal F\setminus \{ \Omega,\phi \}$ tal que $A_2\subsetneq A_1$.\\<br />Continuando inductivamente, obtenemos $(A_n)_{n\in \mathbb N}$ estrictamente encajonados no vacios.<br />Sea $B_n:=A_n\setminus A_{n+1}\in \mathcal F$ claramente disjuntos no vacios.<br />Entoces la funcion<br />$$f: C\in \mathcal P(\mathbb N)\rightarrow \bigcup_{n\in C} B_n\in \mathcal F$$<br />es inyectiva, y por lo tanto<br />$$\|\mathcal F\|\geq \|\mathcal P(\mathbb N)\|=c$$<br /><br /><br />$ Mensaje modificado por nmg1302 el Feb 7 2012, 11:58 AM

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 11:56 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(febomon @ Feb 7 2012, 11:32 AM) ya entendi el problema que me aclaras, mas rato lo arreglare: en realidad si es cierto pero me falto argumentar correctamente, es cierto porque de no estar los x_i, x_m en (y), al ser f(y) en la tribu su complemento tb lo esta, y entonces los x_i , x_m estan en f(y) complemento ypor lo tanto eso contradice que f(y) esta contenido en la interseccion Sí, después noté eso. Entonces está bien lo que hiciste. Error mío. Otra forma de resolver el problema original es suponer la $TEX: $\sigma$$ -álgebra infinita y encontrar una familia numerable disjunta: tomo un conjunto $TEX: $A_1$$ distinto de vacío y de $TEX: $\Omega$$ . Sin pérdida de generalidad, debe existir un número infinito de conjuntos estrictamente contenidos en $TEX: $A_1$$ (si no, lo cambio por su complemento), ya que si sólo hubiese un número finito de conjuntos contenidos tanto en $TEX: $A_1$$ como en $TEX: $A_1^c$$ obtengo una partición finita y la tribu sería finita. Ahora, tomo $TEX: $A_2 \neq A_1$$ contenido en $TEX: $A_1$$ y no vacío y, sin pérdida de generalidad, debe existir un número infinito de conjuntos estrictamente contenidos en $TEX: $A_2$$ (por el mismo argumento anterior). Se continúa inductivamente, encontrando una familia $TEX: $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$ numerable estrictamente decreciente de conjuntos. Tomando $TEX: $B_n = A_n \setminus A_{n + 1}$$ , se obtiene la familia buscada. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2012, 12:18 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien! Ambas ideas apuntan a lo mismo: encontrar una familia numerable disjunta y luego concluir que las partes de $TEX: $\mathbb N$$ son inyectables en la tribu. Sólo varían en las construcciones. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

« Posterior · Análisis · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 30th April 2025 - 10:02 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.