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I1 Análisis Real, 1S 2010

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 02:36 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prof. Mariel Sáez $TEX: \begin{center} \bf{Análisis Real, I1} \\ Lunes 29 de Marzo, 2010 \end{center}$ $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ Sea $X=C(\mathbb{R})$ el espacio de las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas. Sea $d_n:X^2\to \mathbb{R}$ definida como $$d_n(f,g)=sup\{\|f(t)-g(t)\|:t\in [-n,n]\}, \forall f,g\in X$$<br /><br />1. Demuestre que $d_n$ no define una métrica sobre $X$.<br /><br />2. Demuestre que $d:X^2\to \mathbb{R}$ definida como $$d(f,g)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}\dfrac{d_n(f,g)}{1+d_n(f,g)}, \forall f,g\in X$$<br /><br />define una métrica sobre $X$ tal que $d(f,g)\leq 1, \forall f,g\in X$.<br /><br />3. Considere $(\mathbb{R},d_{\mathbb{R}})$ con la distancia $d_{\mathbb{R}}(a,b)=\|a-b\|$. Sea $\{f_n\}\subset X$ una sucesión y $f\in X$ tal que $f_n\to f$ en $(X,d)$ cuando $n\to \infty$. Demuestre que $f_n(x)\to f(x)$ en $(\mathbb{R},d_{\mathbb{R}})$ cuando $n\to \infty$, $\forall x\in \mathbb{R}$.<br /><br />$\textbf{Problema2:}$ Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$. Demuestre que: <br /><br />1.$\overline {\overline{A}}=\overline{A}$.<br /><br />2. $\partial A=\partial (X\setminus A)$.<br /><br />3. $A^{\circ}=\displaystyle \bigcup_{O_{\alpha}\in \mathcal{F}} O_{\alpha}$ donde $\mathcal{F}=\{O:O\subset A, O \ abierto\}$. <br /><br />$\textbf{Problema 3:}$ Considere el espacio $C[0,1]$ de los endomorfismos continuos en $[0,1]$ con la métrica usual inducida por $\mathbb{R}$. Se define sobre $C[0,1]$ la métrica $$d(f,g)=sup\{\|f(t)-g(t)\|: t\in[0,1]\}, \forall f,g\in C[0,1]$$<br /><br />Sea $\varphi:C[0,1]\to C[0,1]$ la función definida por $$\varphi(f)(t)=\int_0^t sf(s)ds$$<br /><br />1. Demuestre que $\varphi$ está bien definida, es decir, si $f\in C[0,1]$, entonces $\varphi(f)\in C[0,1]$.<br /><br />2. Demuestre que $\varphi:(C[0,1],d)\to (C[0,1],d)$ es continua.<br /><br />3. Demuestre que $\{f\in C[0,1]: \int_0^t sf(s)=e^{-t}\}$ es cerrado en $(C[0,1],d)$.<br /><br />$\textbf{Problema 4:}$ Sea $(X,d_1)$ un espacio métrico completo y $f$ una isometría sobreyectiva de $(X,d_1)$ en $(X,d_2)$. Demuestre que $(X,d_2)$ es completo.$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 08:40 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 4: Sea $TEX: $\{x_n\}$$ una sucesión de Cauchy en $TEX: $(X,d_2)$$ . Como $TEX: $f$$ es sobreyectiva, existe una sucesión $TEX: $\{x'_n\}\subset X$$ tal que $TEX: $f(x'_k)=x_k,\forall k\in \mathbb{Z}^+$$ . Como $TEX: $f$$ es isometría, entonces $TEX: $d_1(x'_m, x'_n)=d_2(x_m,x_n)$$ . Como $TEX: $\{x_n\}$$ es de Cauchy, entonces $TEX: $\{x'_n\}$$ también lo es. Como $TEX: $(X,d_1)$$ es completo, la sucesión $TEX: $\{x'_n\}$$ converge a $TEX: $x'\in X$$ . Sea $TEX: $x=f(x')$$ . Por ser $TEX: $f$$ una isometría, se cumple que $TEX: $d_2(x_n,x)=d_1(x'_n,x')\to 0$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Por lo tanto $TEX: $\{x_n\}$$ converge a un punto en $TEX: $X$$ . Por la elección arbitraria de $TEX: $\{x_n\}$$ se concluye que toda sucesión de Cauchy en $TEX: $(X,d_2)$$ es convergente en el mismo espacio, es decir, $TEX: $(X,d_2)$$ es completo. $TEX: $\square$$ Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Feb 2 2012, 08:41 AM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 02:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hola ceniciento xD quisiera ver una solución del problema 3, que es como el interesante de esta prueba. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:34 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Challenge acepted, Kaissa Problema 3: 1. Sea $TEX: $f\in C[0,1], x\in[0,1]$$ . Es sencillo ver que $TEX: $\varphi(f)(s)=\int_0^x sf(s)ds\ge 0$$ y que $TEX: $\varphi(f)(x)= \int_0^x sf(s)ds\leq \int_0^x sds=\frac{1}{2}x^2<1$$ , es decir, $TEX: $\varphi(f)\in B[0,1]$$ . Falta ver que $TEX: $\varphi(f)$$ es continua. Dados $TEX: $0\leq x_1<x_2\leq 1$$ , notar que $TEX: $\left\|\varphi(f)(x_1)-\varphi(f)(x_2)\right\|=\left \|\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} sf(s)ds\right\|\leq \left \|\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} 1ds\right\|=\|x_1-x_2\|$$ De acá se concluye que $TEX: $f$$ es continua. Por lo tanto $TEX: $\varphi(f)\in C[0,1]$$ . 2. Sean $TEX: $f_1,f_2\in C[0,1]$$ Si $TEX: $x\in[0,1]$$ , entonces $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|=\left \|\displaystyle \int_0^x s(f_1(s)-f_2(s))ds \right\|\leq \displaystyle \int_0^x s\|f_1(s)-f_2(s)\|ds$$ Como $TEX: $\|f_1(s)-f_2(s)\|\leq d(f_1,f_2)$$ y $TEX: $\int_0^x sds=\frac{1}{2}x^2\leq \frac{1}{2}$$ se sigue que $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|\leq \frac{1}{2}d(f_1,f_2)\|, \forall x\in[0,1]$$ . Tomando supremo, se sigue que $TEX: $d(\varphi(f_1), \varphi(f_2))\leq \frac{1}{2}d(f_1,f_2)$$ , es decir, $TEX: $\varphi$$ es una contracción y por ende, continua. 3. El conjunto $TEX: $A=\{e^{-t}\}$$ es cerrado por ser un singleton en un espacio métrico. Como $TEX: $\varphi$$ es continua, se sigue que $TEX: $\varphi^{-1}(A)$$ es cerrado. Saludos. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Feb 2 2012, 03:38 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:36 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Feb 2 2012, 05:34 PM) Challenge acepted, Kaissa Problema 3: 1. Sea $TEX: $f\in C[0,1], x\in[0,1]$$ . Es sencillo ver que $TEX: $\varphi(f)(s)=\int_0^x sf(s)ds\ge 0$$ y que $TEX: $\varphi(f)(x)= \int_0^x sf(s)ds\leq \int_0^x sds=\frac{1}{2}x^2<1$$ , es decir, $TEX: $\varphi(f)\in B[0,1]$$ . Falta ver que $TEX: $\varphi(f)$$ es continua. Dados $TEX: $0\leq x_1<x_2\leq 1$$ , notar que $TEX: $\left\|\varphi(f)(x_1)-\varphi(f)(x_2)\right\|=\left \|\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} sf(s)ds\right\|\leq \left \|\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} 1ds\right\|=\|x_1-x_2\|$$ De acá se concluye que $TEX: $f$$ es continua. Por lo tanto $TEX: $\varphi(f)\in C[0,1]$$ . 2. Sean $TEX: $f_1,f_2\in C[0,1]$$ Si $TEX: $x\in[0,1]$$ , entonces $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|=\left \|\displaystyle \int_0^x s(f_1(s)-f_2(s))ds \right\|\leq \displaystyle \int_0^x s\|f_1(s)-f_2(s)\|ds$$ Como $TEX: $\|f_1(s)-f_2(s)\|\leq d(f_1,f_2)$$ y $TEX: $\int_0^x sds=\frac{1}{2}x^2\leq \frac{1}{2}$$ se sigue que $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|\leq \frac{1}{2}d(f_1,f_2)\|, \forall x\in[0,1]$$ . Tomando supremo, se sigue que $TEX: $d(\varphi(f_1), \varphi(f_2))\leq \frac{1}{2}d(f_1,f_2)$$ , es decir, $TEX: $\varphi$$ es una contracción y por ende, continua. 3. El conjunto $TEX: $A=\{e^{-t}\}$$ es cerrado por ser un singleton. Como $TEX: $\varphi$$ es continua, se sigue que $TEX: $\varphi^{-1}(A)$$ es cerrado. Saludos. Los singleton son cerrados por que el espacio es metrico :-p, luego hausdorff -------------------- blep

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:39 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(snw @ Feb 2 2012, 04:36 PM) Los singleton son cerrados por que el espacio es metrico :-p, luego hausdorff Editado, gracias. Se me había pasado por alto. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:42 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	te contaron lo que significa esa integral? -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:47 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Feb 2 2012, 04:42 PM) te contaron lo que significa esa integral? La verdad no . ¿Por qué preguntas? Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Feb 2 2012, 03:48 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 03:54 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Para que te intereses, son esas transformaciones raras para usar en espacios de distribuciones. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2012, 05:38 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Soy el único al que le parece raro el conjunto de 3c? A mi parecer, es vacío. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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