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I2 Análisis Real, 1S 2010

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Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 02:37 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prof. Mariel Sáez $TEX: \begin{center} \bf{Análisis Real, I2} \\ Lunes 3 de Mayo, 2010 \end{center}$ $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ Sea $C([0,1];\mathbb{R})$ el espacio de funciones $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuas. <br /><br />1. Considere $d_1(f,g)=sup\{e^{\frac{1}{2}-x}\cdot\|f(x)-g(x)\|:x\in[0,1]\}$. Demuestre que $(C([0,1];\mathbb{R}), d_1)$ es un espacio métrico completo.<br /><br />2. Sea $d_2(f,g)=sup\{\|f(x)-g(x)\|:x\in[0,1]\}$ y considere $$X=\{f\in C([0,1];\mathbb{R}):sup\{\|f(x)\|:x\in[0,1]\}<1\}$$ Demuestre que $(X,d_2)$ no es un espacio métrico completo.<br /><br />$\textbf{Problema 2:}$ Sea $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 1\}$.<br /><br />1. Demuestre que $D$ es compacto con la métrica inducida por la métrica usual de $\mathbb{R}^2$.<br /><br />2. Se define la función $f:D\to \mathbb{R}^2\cup \{I_{\theta}:\theta\in[0,2\pi)\}$ como $$f(r\cos \theta, r\sin \theta)=\left\{\begin{array}{rcl} \tan\left(\dfrac{1}{2}\pi r\right)(\cos \theta, \sin \theta)&\text{si }r\not= 1\\<br />I_{\theta}&\text{si } r=1.\end{array}\right.$$<br /><br />Se puede demostrar que $f$ es biyectiva. Usted puede suponerlo sin demostrarlo. El conjunto $\mathbb{R}^2\cup \{I_{\theta}:\theta\in[0,2\pi)\}$ se dota de la métrica $$d(u,v)=\|\|f^{-1}(u)-f^{-1}(v)\|\|_{\mathbb{R}^2}$$<br /><br />Demuestre que $(\mathbb{R}^2\cup \{I_{\theta}:\theta\in[0,2\pi)\},d)$ es compacto.$ $TEX: $\textbf{Problema 3:}$ Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes.<br /><br />$(i)$ El espacio $(X,d)$ es compacto.<br /><br />$(ii)$ Toda familia de cerrados $\{F_{\lambda}: F_{\lambda}\subset X\}_{\lambda}$ que satisface $\bigcap_{\lambda} F_{\lambda} \not = \phi$ posee una sub-familia finita $\{F_i\}_{i=1}^n\subset \{F_{\lambda}\}_{\lambda}$ tal que $\bigcap_{i=1}^n F_i\not= \phi$.<br /><br />$(iii)$ Toda familia de cerrados $\{F_{\lambda}: F_{\lambda}\subset X\}_{\lambda}$ tal que toda sub-familia finita $\{F_i\}_{i=1}^n\subset \{F_{\lambda}\}_{\lambda}$ satisface que $\bigcap_{i=1}^n F_i\not= \phi$, necesariamente cumple que $\bigcap_{\lambda} F_{\lambda} \not = \phi$.<br /><br />$\textbf{Problema 4:}$ Considere la ecuación () $$\dfrac{du}{dx}-ue^{-x^2}=e^{-\|x\|}$$ $$u(x_0)=c$$<br /><br />1. Demuestre que $\forall x_0,c, \exists \delta>0$ tal que la ecuación anterior posee única solución $u$ en $(x_0-\delta, x_0+\delta)$.<br /><br />Suponga que $x_0=0$. Observe que si existe una solución $v$ en $[-R,R]$, se tiene que $$v(x)=\int_0^x (v(y)e^{-y^2}+e^{-\|y\|})dy+c. () $$ <br /><br />Para las partes $2,3,4,5$ del problema, suponga que la siguiente afirmación es verdadera. <br /><br />$\underline{Afirmacion:}$ Existe una constante $K$ (independiente de $v, R, x$) tal que si $v$ cumple $()$, entonces $\|v(x)\|\leq K$. Considere el conjunto $S$ de reales $R$ tales que existe $v$ que satisface $()$ es $[-R,R]$.<br /><br />2. Demuestre que $S$ es abierto en $\mathbb{R}$ con la métrica usual.<br /><br />3. Demuestre que $S$ es cerrado en $\mathbb{R}$ con la métrica usual.<br /><br />4. Concluya que $S=\mathbb{R}$ y que la ecuación () tiene solución en todo $\mathbb{R}$.<br /><br />5. Sea $c_n\in \mathbb{R}$ y $u_n$ una solución de la ecuación $\dfrac{du}{dx}-ue^{-x^2}=e^{-\|x\|}$ que satisface $u(0)=c_n$. Suponga que existe $K$, independiente de $n$, tal que $\|u_n(x)\|\leq K$. Demuestre que para un $R_0$ fijo, existe una subsucesión de $\{u_n\}$ que converge uniformemente.$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!