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I2 Análisis Real., 2S 2012

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2012, 06:43 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prof. Martín Chuaqui $TEX: \begin{center} \bf{Análisis Real, I2} \\ Miércoles 10 de Octubre, 2012 \end{center}$ $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ Demuestre los siguientes teoremas:<br /><br />1. Los abiertos conexos en $\mathbb{R}^n$ son arcoconexos.<br /><br />2. Las componentes conexas de abiertos en $\mathbb{R}^n$ son abiertas.$ $TEX: $\textbf{Problema 2:}$ Considere $\mathbb{R}^n$ con la métrica $d(x,y)=\displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \|x_j-y_j\|$, junto al sistema lineal $$x_j=b_j+\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{jk}x_k$$ donde los coeficientes $a_{jk}$ satisfacen $\sum_{k=1}^n \|a_{jk}\|<1,\forall j\in \{1,...,n\}$. Demuestre que el sistema tiene solución única.$ $TEX: $\textbf{Problema 3:}$ Sea $(X,d)$ un espacio métrico con $d$ la métrica discreta. Determine los subconjuntos $E\subset X$ que son compactos.$ $TEX: $\textbf{Problema 4:}$ Sea $f:(X,d)\to (Y,\sigma)$ una función entre espacios métricos.<br /><br />1. Pruebe que si $f$ es uniformemente continua en $X$ y $\{x_n\}\subset X$ es una sucesión de Cauchy, entonces $\{f(x_n)\}$ es de Cauchy en $Y$. <br /><br />2. Suponga que $(Y,\sigma)$ es completo y $E\subset X$ es precompacto (es decir, $\overline{E}$ es compacto). Si $f:E\to Y$ es continua, demuestre que existe $F:\overline {E}\to Y$ continua con $F\|_E=f$ si y solo si $f$ es uniformemente continua.$ Hint para el problema 2: Considere el operador $TEX: $\varphi(x)=Ax+b$$ , donde $TEX: $A=(a_{jk})$$ y $TEX: $b=(b_1,...,b_n)^t$$ Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Oct 12 2012, 10:17 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2012, 06:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 2: $TEX: Defina $A=(a_{jk})\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$, $b=(b_1,...,b_n)^t\in \mathbb{R}^n$. Considere la función $\psi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ tal que $\psi(x)=Ax+b.\forall x\in \mathbb{R}^n$ y sea <br />$L=\displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \sum_{k=1}^n \|a_{jk}\|$. Como $\sum_{k=1}^n \|a_{jk}\|<1,\forall j\in \{1,...,n\}$ se cumple que $L<1$ ().<br /><br />Sean $x=(x_1,...,x_n)^t,y=(y_1,...,y_n)^t\in \mathbb{R}^n$. Vea que $$d(\psi(x),\psi(y))=\displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \|\sum_{k=1}^n a_{jk}(x_k-y_k)\|\leq \displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \sum_{k=1}^n\|a_{jk}\|\|x_k-y_k\|$$ donde se ocupó la desigualdad triangular. Note que por () se cumple que $$d(\psi(x),\psi(y))\leq L\cdot \displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \|x_k-y_k\|=L\cdot d(x,y)$$<br /><br />es decir, $\psi$ es una contracción. <br /><br />A continuación se probará que $(\mathbb{R}^n,d)$ es completo. Sea $\{x^{(m)}\}_{m\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}^n$ una sucesión de Cauchy. Esto significa que $\forall \epsilon>0,\exists N\in \mathbb{N}$ tal que $d(x^{(m_1)},x^{(m_2)})<\epsilon,\forall m_1,m_2>N$, o equivalentemente, $$\displaystyle \max_{1\leq j\leq n} \|x^{(m_1)}_j-x^{(m_2)}_j\|<\epsilon$$<br /><br />Esto significa que $$\|x^{(m_1)}_j-x^{(m_2)}_j\|<\epsilon,\forall m_1,m_2>N, j\in\{1,...,n\}$$<br /><br />Se deduce que $\{x^{(m)}_j\}_{m\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$ es una sucesión de Cauchy en $(\mathbb{R},\|\cdot\|),\forall j\in \{1,...,n\}$. Como $(\mathbb{R},\|\cdot\|)$ es completo, se tiene que cada sucesión $\{x^{(m)}_j\}_{m\in \mathbb{N}}$ es convergente. Para cada $j\in \{1,...,n\}$, sea $x_j:=\displaystyle \lim_{m\to \infty} x^{(m)}_j$ y $x=(x_1,...,x_n)^t$. Sea $\epsilon>0$. Entonces $\exists N_1,...,N_n\in \mathbb{N}$ tales que $\|x^{®}_j-x_j\|<\epsilon,\forall r>N_j$. Si se toma $N=\displaystyle \max_{1\leq j\leq n} N_j$ se obtiene que $d(x^{®},x)<\epsilon,\forall r>N$. Por lo tanto $x^{(m)}\to x$ cuando $m\to \infty$ y se concluye que $(\mathbb{R}^n,d)$ es completo. <br /><br /><br />Como $(\mathbb{R}^n,d)$ es completo y $\psi$ es una contracción, se sigue por el Teorema del punto fijo de Banach que $\psi$ posee un único punto fijo, es decir, el sistema de ecuaciones $x=Ax+b$ posee solución única, demostrando lo pedido. $\square$.$ Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Oct 12 2012, 06:46 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2012, 06:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 4: $TEX: $\textbf{a)}$ Sea $\epsilon>0$ Como $f$ es uniformemente continua, $\exists \delta>0$ tal que si $d(x,y)<\delta$, entonces $\sigma(f(x),f(y))<\epsilon$. Como $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en $(X,d)$, $\exists N\in \mathbb{N}$ tal que $d(x_m,x_n)<\delta,\forall m,n>N$. Esto significa que $\sigma(f(x_m),f(x_n))<\epsilon,\forall m,n>N$. Por lo tanto $\{f(x_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en $(Y,\sigma)$. $\square$$ $TEX: $\textbf{b)}$ $\Rightarrow$ Como $F$ es continua y $\overline{E}$ es compacto, $F$ es uniformemente continua. Luego, dado $\epsilon>0,\exists \delta>0$ tal que $\forall x,y\in \overline{E}$ tales que $d(x,y)<\delta$, entonces $\sigma(F(x),F(y))<\epsilon$. Como $E\subset \overline{E}$, entonces $\forall x,y\in E$ para los cuales $d(x,y)<\delta$ se cumple que $\sigma(f(x),f(y))=\sigma(F(x),F(y))<\epsilon$. Por lo tanto $f$ es uniformemente continua. $\square$ <br /><br /><br />$\Leftarrow$ Sea $x\in \overline{E}$. Toda sucesión $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset E$ tal que $x_n\to x$ cuando $n\to \infty$ es una sucesión de Cauchy en $(X,d)$. Como $f$ es uniformemente continua, entonces $\{f(x_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en $(Y,\sigma)$. Como $(Y,\sigma)$ es un espacio métrico completo, la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente en $Y$ (digamos, a $y_x\in Y$). Suponga que $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}},\{x^_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son sucesiones tales que $x_n,x^_n\to x$ cuando $n\to \infty$. Note que $d(x_n,x^_n)\to 0$ cuando $n\to \infty$. Como $f$ es uniformemente continua, $\sigma(f(x_n),f(x^_n))\to 0$ cuando $n\to \infty$. Por lo tanto $\displaystyle \lim_{n\to \infty} f(x_n)=\displaystyle \lim_{n\to \infty} f(x^_n)$$ $TEX: Considere $F:\overline{E}\to Y$ tal que $F(x)=f(x),\forall x\in E$ y $F(x)=\displaystyle \lim_{n\to \infty} f(x_n)$ donde $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset E$ tal que $x_n\to x$ cuando $n\to \infty$ (lo que se probó en el párrafo anterior era que este límite estaba bien definido). Por definición, $F\|_E=f$ y $F$ es continua, pues cumple el teorema del enlace. $\square$$ Saludos, espero que este bien Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza* el Oct 12 2012, 07:45 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2012, 07:35 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Encuentro bueno el nivel, bastante medido con los regalos del P1 y el P3 -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2012, 12:31 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 3: $TEX: Como el espacio es discreto, su topología son sus partes. Sea $E\in\mathcal{P}(X)$ finito y $\mathcal{A}$ un cubrimiento abierto de este. Como $E$ es finito, sólo necesitamos una cantidad finita de abiertos de $\mathcal{A}$ para cubrirlo, de modo que admite siempre un subcubrimiento finito. Si $E$ es infinito, basta con tomar el cubrimiento dado por $\mathcal{A}=\{ \{x \}:x\in E \}$ para observar que $E$ no es compacto, pues el cubrimiento expuesto no tiene un subcubrimiento finito.<br />$ Alguien que mate el problema 1. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

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