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Convergencia y geométrica

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2013, 01:16 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estudiar la convergencia de la sucesión $TEX: $I_n = \displaystyle\int_0^\infty\frac{\arctan(n\sqrt{x})}{1+x+x^2+\ldots+x^n}\,dx$$ , $TEX: $n\ge2$$ . -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2023, 07:15 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Definamos $f_n(x) := \frac{\arctan{(n\sqrt{x})}}{1+x+x^2+...+x^n}$, vemos que si $x \geq 1$, entonces $f_n(x)\leq \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{x^2}$ mientras que si $x\in [0,1)$, $f_n(x)\leq \frac{\pi}{2}$, entonces $f_n(x)\leq g(x)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $g(x) = \frac{\pi}{2}1_{\{x<1\}} + \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{x^2}1_{\{x\geq 1\}}$ y esta función es integrable. Por otra parte, es claro que si $x\geq 1$ entonces $f_n(x)\to 0$ cuando $n\to\infty$. Si $x<1$, vemos que $f_n(x) =\frac{\arctan{(n\sqrt{x})}}{1+x+x^2+...+x^n} = \frac{(1-x)\arctan{(n\sqrt{x})}}{1-x^{n+1}}$ y entonces como $x^{n+1}\to 0$ cuando $n\to\infty$, luego $f_n(x)\to (1-x)\frac{\pi}{2}$, luego por el Teorema de Convergencia Dominada se tiene que $$I_n\to \int_{0}^{1}(1-x)\frac{\pi}{2}dx = \frac{\pi}{4}.$$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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