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I1 Análisis Real, 2013-1

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2013, 10:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prof. Matías Courdurier. $TEX: \begin{center} \bf{Análisis Real, I1} \\ Miércoles 3 de Abril, 2013 \end{center}$ $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ Sea $X=C([0,1];\mathbb{R})$ y $A=\{f\in X:f(0)=0\}$. Para $f,g\in X$, defina $d(f,g)=\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} \|f(x)-g(x)\|$ y $\rho(f,g)=\displaystyle \int_0^1 \|f(x)-g(x)\|dx$. <br /><br />$\textbf{a)}$ Calcule $\overline{A}$, $int(A)$ en el espacio métrico $(X,d)$.<br /><br />$\textbf{b)}$ Calcule $\overline{A}$, $int(A)$ en el espacio métrico $(X,\rho)$.$ $TEX: $\textbf{Problema 2:}$ $\textbf{a)}$ Sea $(Y,\rho)$ un espacio métrico, $X$ un conjunto y considere $f:X\to Y$ una función. Defina $d:X\times X\to \mathbb{R}$ como $d(x,y)=\rho(f(x),f(y))$<br /><br />$\textbf{i)}$ ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que $d$ sea una métrica en $X$?<br /><br />$\textbf{ii)}$ Si las condiciones de $\textbf{i)}$ se satisfacen, demuestre que $f:(X,d)\to (Y,\rho)$ es continua. ¿Cuáles son las condicione necesarias y suficientes para que $f:(X,d)\to (Y,\rho)$ sea una isometría?<br /><br />$\textbf{b)}$ Sea $X=(0,1]$. Encuentre dos métricas $d_1$ y $d_2$ en $X$ que satisfacen las siguientes dos propiedades a la vez.$ $TEX: Para toda sucesión $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset (0,1]$:$[d_1(x_n,x)\to 0]\Leftrightarrow [d_2(x_n,x)\to 0]$$ $TEX: $(X,d_1)$ es completo pero $(X,d_2)$ no lo es.$ $TEX: $\textbf{Problema 3:}$ En el conjunto $C([0,1];\mathbb{R})$, considere la métrica $d(f,g)=\displaystyle \sup_{x\in [0,1]} \|f(x)-g(x)\|$. Demuestre que $(C([0,1];\mathbb{R}),d)$ es un espacio métrico completo.$ $TEX: $\textbf{Problema 4:}$ Demuestre que existe una única función $f\in C^2([0,1];[0,1])$ que satisface <br /><br />$f''(x)-e^{-x}f(x)=0$<br /><br />$f(0)=f'(0)=0$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2013, 05:29 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Apr 3 2013, 10:07 PM) $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ Sea $X=C([0,1];\mathbb{R})$ y $A=\{f\in X:f(0)=0\}$. Para $f,g\in X$, defina $d(f,g)=\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} \|f(x)-g(x)\|$ y $\rho(f,g)=\displaystyle \int_0^1 \|f(x)-g(x)\|dx$. <br /><br />$\textbf{a)}$ Calcule $\overline{A}$, $int(A)$ en el espacio métrico $(X,d)$.<br /><br />$\textbf{b)}$ Calcule $\overline{A}$, $int(A)$ en el espacio métrico $(X,\rho)$.$ a) Se probará que $TEX: $A$$ es cerrado. Sea $TEX: $f\in X\setminus A$$ . Luego $TEX: $f(0)\not=0$$ . Si $TEX: $f(0)>0$$ , considere $TEX: $g\in B(f;f(0))$$ . Luego, $TEX: $\|f(0)-g(0)\|\leq d(f,g)<f(0)$$ , de donde $TEX: $0<g(0)<2f(0)$$ . Esto significa que $TEX: $g\in X\setminus A$$ , luego $TEX: $B(f,f(0))\subset X\setminus A$$ . Si $TEX: $f(0)<0$$ , se cumple que $TEX: $B(f;-f(0))\subset X\setminus A$$ . Se cumple entonces que $TEX: $X\setminus A$$ es abierto y en consecuencia $TEX: $\overline{A}=A$$ Se probará que $TEX: $int(A)=\emptyset$$ . Si $TEX: $int(A)\not=\emptyset$$ , entonces $TEX: $(\exists f\in A)(\exists r>0):B(f;r)\subset A$$ Considere $TEX: $g\in X$$ tal que $TEX: $g(x)=f(x)+\dfrac{1}{2}r,\forall x\in[0,1]$$ . Note que $TEX: $d(f,g)=\dfrac{1}{2}r<r$$ , i.e, $TEX: $g\in B(f;r)$$ . Pero $TEX: $g(0)=\dfrac{1}{2}r\not =0$$ , lo que significa que $TEX: $g\not \in A$$ . Esto contradice que $TEX: $B(f;r)\subset A$$ . Por lo tanto $TEX: $int(A)=\emptyset$$ . b) Se probará que $TEX: $\overline{A}=X$$ . Sea $TEX: $f\in X$$ . Note que $TEX: $f$$ es continua en un compacto en $TEX: $(\mathbb{R},\|\cdot\|)$$ , así que es acotada, i.e, $TEX: $(\exists C>0)<img src="style_emoticons/default/sad.gif" style="vertical-align:middle" emoid=":(" border="0" alt="sad.gif" />x\in[0,1])\Rightarrow \|f(x)\|\leq C$$ . Esto significa que $TEX: $\displaystyle \int_0^x \|f(t)\|dt\leq Cx,\forall x\in[0,1]$$ . Dado $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ , defina $TEX: \[f_n(x)=\begin{cases}\begin{tabular}{c c c}<br />$nf(\dfrac{1}{n})x,$&si&$0\leq x\leq \dfrac{1}{n}$;\\<br />\\<br />$f(x)$,&si&$\dfrac{1}{n}<x\leq 1$.<br />\end{tabular}\end{cases}\]$ Note que $TEX: $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset A$$ . Se probará que $TEX: $f_n\to f$$ en $TEX: $(X,\rho)$$ . Vea que $TEX: $\rho(f_n,f)=\displaystyle \int_0^{\frac{1}{n}} \|f(x)-nf(\dfrac{1}{n})x\|dx\leq \displaystyle \int_0^{\frac{1}{n}} \|f(x)\|dx+nf(\dfrac{1}{n})\displaystyle \int_0^{\frac{1}{n}} xdx$$ Como $TEX: $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{n}} \|f(x)\|dx\leq \dfrac{C}{n}$$ y $TEX: $nf(\dfrac{1}{n})\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{n}} xdx=\dfrac{1}{2n}f(\dfrac{1}{n})\leq \dfrac{C}{2n}$$ , se sigue que $TEX: $\rho(f_n,f)\leq \dfrac{3C}{2n}\to 0$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Con esto queda demostrado que $TEX: $\overline{A}=X$$ . Se probará que $TEX: $int(A)=\emptyset$$ . Si $TEX: $int(A)\not=\emptyset$$ , entonces $TEX: $(\exists f\in A)(\exists r>0):B(f;r)\subset A$$ Considere $TEX: $g\in X$$ tal que $TEX: $g(x)=f(x)+\dfrac{1}{2}r,\forall x\in[0,1]$$ . Note que $TEX: $\rho(f,g)=\dfrac{1}{2}r<r$$ , i.e, $TEX: $g\in B(f;r)$$ . Pero $TEX: $g(0)=\dfrac{1}{2}r\not =0$$ , lo que significa que $TEX: $g\not \in A$$ . Esto contradice que $TEX: $B(f;r)\subset A$$ . Por lo tanto $TEX: $int(A)=\emptyset$$ . $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2013, 10:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	2.b) Considere $TEX: $d_1,d_2:(0,1]\times (0,1]\to \mathbb{R}$$ tales que $TEX: $\forall x,y\in (0,1]$$ se cumpla que $TEX: $d_1(x,y)=\|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\|$$ y $TEX: $d_2(x,y)=\|x-y\|$$ Sea $TEX: $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset (0,1]$$ . Suponga que $TEX: $d_1(x_x,x)\to 0$$ . Como $TEX: $\|\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\|=\dfrac{\|x-x_n\|}{\|x\|\|x_n\|}\ge \|x-x_n\|\ge 0$$ se tiene que $TEX: $d_2(x_n,x)\to 0$$ . Por otra parte, si $TEX: $d_1(x_n,x)\to 0$$ , entonces $TEX: $\|x_n-x\|\to 0$$ . Como la función $TEX: $f(t):=t^{-1}$$ es continua en $TEX: $\mathbb{R}$$ dotado de la métrica usual, entonces $TEX: $\|f(x_n)-f(x)\|\to 0$$ , es decir, $TEX: $d_2(x_n,x)\to 0$$ . Con esto se prueba que $TEX: $d_1,d_2$$ satisfacen la primera condición pedida. Sea $TEX: $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset (0,1]$$ una sucesión de Cauchy en $TEX: $((0,1],d_1)$$ . Entonces la sucesión $TEX: $\{\dfrac{1}{x_n}\}_{n\in \mathbb{N}}$$ es de Cauchy en $TEX: $([1,+\infty),\|\cdot\|)$$ . Al ser $TEX: $([1,+\infty),\|\cdot\|)$$ completo (subconjunto cerrado de un completo con la métrica inducida), se tiene que $TEX: $\{\dfrac{1}{x_n}\}_{n\in \mathbb{N}}$$ converge a $TEX: $y\in[1,+\infty)$$ . Note que $TEX: $y^{-1}\in (0,1]$$ . Por la continuidad de $TEX: $f$$ , se sigue que $TEX: $d_1(x_n,y^{-1})\to 0$$ , i.e, $TEX: $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$$ es convergente. Por lo tanto $TEX: $((0,1],d_1)$$ es completo. Para ver que $TEX: $((0,1],d_2)$$ no es completo, basta ver que $TEX: $\{\dfrac{1}{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$$ es de Cauchy (pues $TEX: $\|\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}\|\leq \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\to 0$$ cuando $TEX: $m,n\to +\infty$$ ), pero $TEX: $\dfrac{1}{n}\to 0\not \in (0,1]$$ cuando $TEX: $n\to \infty$$ . Por lo tanto $TEX: $((0,1],d_2)$$ no es completo. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 08:24 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 3, acá: Teorema 4.23 (como es la típica "demostración de libro" es mejor postear un link que hacerla de nuevo) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 08:33 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Apr 14 2013, 08:24 AM) Problema 3, acá: Teorema 4.23 (como es la típica "demostración de libro" es mejor postear un link que hacerla de nuevo) Sí, de hecho el problema 3 salió en la tarea 1 también.... y el problema 4 es un problema típico del teorema del punto fijo de Banach. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

GmHernan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2014, 01:38 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 114 Registrado: 4-March 09 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 44.042 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: 4)Tomando la expresión integral<br />$$f(x) = \int_0^x \int_0^y f(t) e^{-t}dtdy $$ <br />Veamos primero que esta bien definida.<br />Sea $T: (X,d) \to (X,d) , f \in X, x\in [0,1] $<br />$$ Tf(x) = \int_0^x \int_0^y f(t) e^{-t}dtdy $$<br />Acotando por el supremo<br />$$ Tf(x) = \int_0^x \int_0^y f(t) e^{-t}dtdy \leq sup_{x \in [0,1]} e^{-x} f(x) \int_0^x \int_0^y dtdy \leq sup_{x \in [0,1]} e ^0 1 \int_0^x \int_0^y dtdy $$ $$\leq sup_{x \in [0,1]} \frac{x^2}{2} \leq \frac{1}{2} < 1$$<br />Por ende es cerrado, y $Tf(x) $ esta bien definda en $[0,1] \to [0,1] $<br /><br />Ahora busquemos la contracción<br />Sea $f,g \in X $, $f: [0,1] \to [0,1] $, y $T(f(x)) $ definida anteriormente,y de manera análoga al anterior acotamos.<br /><br />$$d(T(f(x)),T(g(x))) \leq sup_{x \in [0,1]} \int_0^x \int_0^y \|f(t)-g(t)\| e^{-t}dtdy \leq $$ $$ sup_{x \in [0,1]}\|f(x)-g(x)\|e^{-x} \int_0^x \int_0^y dtdy \leq sup_{x \in [0,1]} \|f(x)-g(x)\|e^{-0} \frac{x^2}{2}<br />$$ $$\leq sup_{x \in [0,1]} \|f(x)-g(x)\|\frac{1}{2} $$<br /><br />Como $K=\frac{1}{2} $ es una contracción, y ademas una función uniformemente continua. Luego, por teorema del punto fijo de Banach existe una única solución de $f(x)$.$ Mensaje modificado por GmHernan el Nov 2 2014, 01:39 AM -------------------- Son unos loquillos QUOTE(toto Usorno @ Nov 13 2010, 07:54 PM) Loco, tomate otro año no más erís joven no le hagai caso a esta manga de ñoños culiaos que serían incapaces de perder años porq no tendrían de que vanagloriarse (sus únicos logros son los académicos). Sigue adelante no más, encuentra tu vocación y si son 10 años los que tenís q esperar, esperalos... en Europa los hue.ones salen del colegio y salen a recorrer el mundo como dos años y de ahí se meten a la universidad... nadie te apura socio... SE FELIZ QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(MatematicoPrincipiante @ Jul 17 2012, 05:18 PM) .......... no importa cual sea la identidad de kaissa...estamos en un foro de matemáticas, no en facebook, importa un pico si kaissa es hombre, mujer, buena para culear, etc., .......... QUOTE(//Whiplash// @ Jun 1 2010, 11:44 PM) Las mujeres también tenemos derechos QUOTE(salvador.augusto allende @ Jul 24 2012, 10:19 PM) .......... pero estas escuelas qls valen callampa, lo unico bueno que tienen son las mansas perras, en otras palabras solamente irias a la u a remojar el pate.... QUOTE(Maxooon @ Mar 6 2012, 06:57 AM) Santiago lindo, santiago hermoso, me encanta tu aroma a smog por las mañanas y el sonido de los claxon por las tardes, tu gente mal genio y apurada, tu locomocion congestionada, y que todas las noches me hagas cerrar mi casa con candados, llaves, pestillos y alarmas. QUOTE(Kaissa @ Jan 3 2013, 06:12 PM) Dios! Señor! qué hemos hecho para merecer leer esto!!!! Hubiera tenido más sentido decir "un thread del año pasado" Voy a enumerar un poco: 1- lógica fail. 2- redacción fail. 3- gramática fail. Me vas a disculpar, estimado coquitao pero le voy a sacar un screenshot a esto y lo voy a nominar al "post fmat del año" (pero aún estoy en la indecisión de que sea 2012 o 2013 :( )

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