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I1 Álgebra Abstracta I, 1S 2013

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 09:27 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Prof. Olivier Bourget. $TEX: \begin{center} \bf{Álgebra Abstracta, I1} \\ Lunes 8 de abril de 2013 \end{center}$ $TEX: $\textbf{Problema 1:}$ $\textbf{a)}$ Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $(g_1,g_2)\in G\times G$. Demuestre que $ord(g_1g_2)=ord(g_2g_1)$<br /><br />$\textbf{b)}$ Sea $(G,\cdot)$ un grupo abeliano y $F:=\{g\in G:ord(g)<+\infty\}$. Demuestre que $F\leq G$.$ $TEX: $\textbf{Problema 2:}$ $\textbf{a)}$ Sea $(G,\cdot)$ un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico. Demuestre que $G$ es abeliano.<br /><br />$\textbf{b)}$ Demuestre que no existe un grupo $(G,\cdot)$ tal que $ord(G/Z(G))=7$.$ $TEX: $\textbf{Problema 3:}$ Sea $Q$ el conjunto formado por las siguientes 8 matrices, y considere el producto usual de matrices (denotado por "$\cdot$"). <br /><br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$1$&$0$\\<br />$0$&$1$\\<br />\end{tabular}\right)$,<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$i$&$0$\\<br />$0$&$-i$\\<br />\end{tabular}\right)$,<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$0$&$1$\\<br />$-1$&$0$\\<br />\end{tabular}\right)$<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$0$&$i$\\<br />$i$&$0$\\<br />\end{tabular}\right)$ <br /><br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$-1$&$0$\\<br />$0$&$-1$\\<br />\end{tabular}\right)$,<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$-i$&$0$\\<br />$0$&$i$\\<br />\end{tabular}\right)$,<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$0$&$-1$\\<br />$1$&$0$\\<br />\end{tabular}\right)$<br />$\left(<br />\begin{tabular}{c c}<br />$0$&$-i$\\<br />$-i$&$0$\\<br />\end{tabular}\right)$ <br /><br />$\textbf{a)}$ Demuestre que $(Q,\cdot)$ es un grupo no abeliano.<br /><br />$\textbf{b)}$ Demuestre que todo subgrupo de $(Q,\cdot)$ es normal.$ Cuaterniones please Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Apr 14 2013, 03:07 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 10:24 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Olivier dicta álgebra! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 10:48 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Apr 14 2013, 10:24 AM) Olivier dicta álgebra! Sí D: Postearé la solución de los problemas 1a y 2b (que son cortitas). Mi solución original del 1a era formando una biyección $TEX: $\varphi:<g_1g_2>\to <g_2g_1>$$ , pero Gostan me enseñó una más bonita D: que quiero compartir. (Creo que debí estudiar más) $TEX: $\textbf{1a)}$. Note que $ba^rb^{-1}=(bab^{-1})^r,\forall r\in \mathbb{N},(a,b)\in G\times G$. Se sigue que $ord(a)=ord(bab^{-1})$ y por lo tanto<br /><br />$ord(g_1g_2)=ord(g_2(g_1g_2)g_2^{-1})=ord((g_2g_1)(g_2g_2^{-1}))=ord(g_2g_1)$. $\blacksquare$$ $TEX: $\textbf{2b)}$ Suponga que existe dicho grupo. Como $ord(G/Z(G)$ es primo, $G/Z(G)$ es cíclico. Por el problema $\textbf{2a)}$, $G$ es abeliano. Luego $G=Z(G)$. Entonces $ord(G/Z(G))=1$. Contradicción. Por lo tanto no existe tal grupo. $\blacksquare$$ Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Apr 14 2013, 03:07 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 11:32 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Apr 14 2013, 12:48 PM) $TEX: $\textbf{1a)}$. Note que $a^r=(bab^{-1})^r,\forall r\in \mathbb{N},(a,b)\in G\times G$.$ $TEX: Si eso fuese cierto, en particular $a=bab^{-1}$ y por lo tanto $a$ y $b$ conmutan lo que no es cierto en general (y si lo fuese el resultado seria trivial)$ Mensaje modificado por nmg1302 el Apr 14 2013, 11:33 AM

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 11:55 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Edit.. taba drogao Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Apr 14 2013, 03:07 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2013, 12:04 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Apr 14 2013, 01:55 PM) Me faltó colocar eso en la hipótesis! Ya que no tenía el enunciado... lo edito inmediatamente Pero en ese caso $TEX: $g_1 g_2=g_2 g_1$$ y el ejercicio pierde sentido.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2013, 12:21 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	1a. http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=62002&hl= 1b. $TEX: $F$$ es no vacío. Sean $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ en $TEX: $F$$ . Puesto que $TEX: $G$$ es abeliano y $TEX: $\mathrm{ord}(b) =\mathrm{ord} (b^{-1})$$ , $TEX: $\mathrm{ord}(ab^{-1}) \leq \mathrm{ord}(a)\mathrm{ord}(b^{-1}) = \mathrm{ord}(a)\mathrm{ord}(b) < +\infty$$ y sería. 2a es clásico. Haga $TEX: $Z:=Z(G)$$ y supóngase $TEX: $G/Z = <Zg>$$ . Sean $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ en $TEX: $G$$ . Puesto que $TEX: $Za = Zg^m$$ y $TEX: $Zb = Zg^n$$ para algunos enteros $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ , se sigue que $TEX: $a = z'g^m$$ y $TEX: $b = z''g^n$$ para algunos $TEX: $z'$$ y $TEX: $z''$$ en $TEX: $Z$$ . Ergo, $TEX: $ab = (z'g^mz''g^n) = g^{m+n}z''z' = z''g^{n+m}z' = z''g^nz'g^m = ba$$ . $TEX: $QED$$ 3. http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=51156 -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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