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Number Theory Midterm

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2013, 03:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br /> \textbf{Interrogación Teoría de Números}<br /> \end{center}<br /> \begin{flushright}<br /> Santiago, 12 de septiembre de 2013<br /> <br /> Profesor: Kazim Buyükböduk<br /> <br /> \end{flushright}<br /><br /> \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P1}] $\textbf{(17 pts)}$. Demuestre que la ecuación $15x^2-36=y^2$ no tiene solución en $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$. \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P2.}] $\textbf{(23 pts)}$ Encuentre un punto $(x_0,y_0)\in \{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}:2x^2+y^2=6\}$, distinto de los puntos $(1,2),(-1,-2),(1,-2),(-1,-2)$.<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{P3.}] $\textbf{(27 pts)}$ Encuentre todas las soluciones en $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$ de la ecuación $x^2+2=y^3$. <br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{Bonus}] $\textbf{(25 pts)}$ \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{(1)}] Sea $p\ge 2$ un número primo, tal que $gcd(3,p-1)=1$. Demuestre que la ecuación $3x^3+4y^3+5z^3\equiv 0\pmod p$ tiene una solución módulo $p$ distinta de $(0,0,0)$.<br /><br />\item[\textbf{(2)}] Encuentre todos los enteros $0\leq n\leq 60$ tales que $n^3\equiv 1\pmod {61}$.<br /><br />\item[\textbf{(3)}] Demuestre que la ecuación $3x^3+4y^3+5z^3\equiv 0\pmod{61}$ tiene una solución módulo $61$ distinta de $(0,0,0)$. <br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{Tarea}] $\textbf{(33 pts)}$ \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{(1)}] Sea $p>2$ un primo. Encuentre todos los pares $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ tales que $x^2+1=y^p$. <br />\item[\textbf{(2)}] Note que $\epsilon=1+\sqrt{2}$ es unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Demuestre que el grupo de unidades positivas en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un grupo cíclico generado por $\epsilon$. Más aún, sea $N\in \mathbb{Z}$ libre de cuadrados. Demuestre que el grupo de unidades positivas de $\mathbb{Z}[\sqrt{N}]$ es isomorfo al grupo aditivo $\mathbb{Z}$. <br /> <br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ Tiempo parte presencial: 80 minutos. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Sep 23 2013, 04:22 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2013, 12:27 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	P1. Suponga que existe tal solucion. Escriba $TEX: $x=\frac{a}{b}, y=\frac{c}{d}$$ . Multiplique todo por $TEX: $b^2d^2$$ obteniendo $TEX: $15a^2d^2-36b^2d^2=b^2c^2$$ , escriba $TEX: $ad=u, v=bd, w=bc$$ entonces la ecuacion se transforma en $TEX: $15u^2-36v^2=w^2$$ . Probemos que esta ultima ecuacion solo tiene $TEX: $(0,0,0)$$ como solucion en los enteros. Suponga por el contrario que $TEX: $(u,v,w)$$ es una solucion distinto de $TEX: $(0,0,0)$$ que tiene el $TEX: $\|u\|$$ mas pequeño, se puede llegar facilmente a que $TEX: $3\|u,v,w$$ y por lo tanto $TEX: $(u/3,v/3,w/3)$$ tambien es solucion contradiciendo el hecho que $TEX: $\|u\|$$ era el mas pequeño. De ahi concluimos que $TEX: $u=0$$ y luego que la unica solucion es $TEX: $(0,0,0)$$ . Asi que tenemos que $TEX: $ad=bd=bc=0$$ lo cual implica $TEX: $a=c=0$$ lo cual nos lleva a $TEX: $-36=0$$ contradiccion. Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 23 2013, 12:28 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2013, 04:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Sep 23 2013, 12:27 AM) se puede llegar facilmente a que $TEX: $3\|u,v,w$$ y por lo tanto $TEX: $(u/3,v/3,w/3)$$ tambien es solucion contradiciendo el hecho que $TEX: $\|u\|$$ era el mas pequeño. Esa era la parte difícil del problema. ¿Cómo lo justificas? EDIT: actualicé el enunciado de la I. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Sep 23 2013, 04:29 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2016, 12:46 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	BONUS. (2). $TEX: $n^{3} \equiv 1 \pmod{61}$ implica que $n\equiv 1 \pmod{61}$ o que $n^{2}+n+1\equiv 0 \pmod{61}$. De la primera congruencia se sigue que $n=1$. La segunda congruencia es equivalente a $(2n+1)^{2} \equiv -3 \pmod{61}$. Puesto que, en el intervalo $[0,60]$, una de las soluciones de la congruencia $x^{2}\equiv -3\pmod{61}$ es $x_{1}=27$, la segunda solución en ese mismo intervalo la da $x_{2}=61-27=34$. Por consiguiente, la única solución de la congruencia $(2n+1)^{2}\equiv-3 \pmod{61}$ (con $n\in [0,60]$) es $n=13.$ En conclusión, los números naturales $n \in [0,60]$ que satisfacen la congruencia original son $n=1$ y $n=13$.$ (3). $TEX: La terna $(x=2,y=2,z=1)$ proporciona una solución de la ecuación dada distinta de la solución trivial.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2016, 10:43 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	P1. $TEX: Por \emph{reductio}. Si la ec. en cuestión tiene una solución $(x,y) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ entonces existen números naturales $a,b,c,d$ tales que $15a^{2}d^{2} = b^{2}(36d^{2}+c^{2})$. Esto implica a su vez que $15a^{2}d^{2}$ es un número natural que es suma de dos cuadrados perfectos, lo cual es \textbf{absurdo} pues es bien sabido que un número natural $n$ es suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si $e_{p}(n)$ es un número par para cada primo $p \equiv 3\pmod{4}$ que divide a $n$.$ OBSERVACIÓN. Con $TEX: $e_{p}(n)$$ denoto ahí al exponente al cual aparece el primo $TEX: $p$$ en la descomposición canónica de $TEX: $n$$ . -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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