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> Una de por ahí
MysticMan
mensaje Sep 29 2013, 07:15 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: Sean $a,b,c,d \in {\mathbb{R}^ + }$ tales que $\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} + \frac{1}{{1 + d}} = 3.$ Demuestre que $abcd \leqslant \frac{1}{{81}}.$

Saludos.


--------------------
TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$
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pprimo
mensaje Sep 24 2015, 11:03 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Lo que se me ocurre por el momento, notemos que la condicion inicial se puede modificar haciendo lo siguiente
TEX: $$-1=\sum\limits_{cyc}{\left( \frac{1}{1+a}-1 \right)}=-\sum\limits_{cyc}{\left( \frac{a}{1+a} \right)}$$
en otras palabras TEX: $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}=1$$
Haciendo el cambio de variable TEX: $$\left( a,b,c,d \right)=\left( \frac{A}{1-A},\frac{B}{1-B},\frac{C}{1-C},\frac{D}{1-D} \right)$$ la condicion se transforma a TEX: $$A+B+C+D=1$$ y debemos demostrar que TEX: $$\frac{1}{81}\ge \frac{A}{1-A}\cdot \frac{B}{1-B}\cdot \frac{C}{1-C}\cdot \frac{D}{1-D}$$ esto es trivial puesto que tenemos
TEX: $$\left( 1-A \right)\left( 1-B \right)\left( 1-C \right)\left( 1-D \right)=\left( B+C+D \right)\left( A+C+D \right)\left( A+B+D \right)\left( A+B+C \right)\ge 81ABCD$$

esto ultimo es MA-MG cuatro veces y multiplicando se obtiene lo pedido
GG
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