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Controles 1 Álgebra Lineal, Nueva Malla y más allá.

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2013, 07:24 PM Publicado: #11
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. (Se agradecen aportes.) Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 27 2013, 03:51 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2013, 07:28 PM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 12-2 Control 1 Semestre Primavera 2012 P1. (6,0 ptos.) Considere el sietma lineal siguiente donde $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son parámetros reales. $TEX: \[\begin{matrix}<br />2x_1 & +x_2 & +(1-2\alpha)x_3 & (\beta +1)x_4 = \beta -3\\<br /> & x_2 & -x_3 & +(\beta - \alpha)x_4 = -1\\<br /> & -2x_2 & +2x_3 & +(2-2\beta)x_4 = -2\\<br />2x_1 & & +2x_3 & +\alpha x_4 = 4\beta -3\\<br />2x_1 & +x_2 & +x_3 & +(\alpha +\beta -1) x_4 = 0<br />\end{matrix}\]$ Determine condiciones sobre $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ para que el sistema: Tenga infinitas soluciones. Tenga solución única. No tenga solución. P2. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $M\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$$ una matriz tal que $TEX: $M^T M\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ es invertible. Se define la matriz $TEX: $P\in\mathcal{M}_{m\times m}(\mathbb{R})$$ como $TEX: \[P=I-M(M^T M)^{-1} M^T\]$ donde I es la identidad de dimensión m. Pruebe que a.1) P²=P y P·M=0, donde 0 es la matriz nula de dimensión m. a.2) Las matrices M^TM y P son simétricas. a.3) P no es invertible (Ind: Argumente que M no es nula). b) (3,0 ptos.) Considere el plano $TEX: \[\Pi : \begin{pmatrix}<br />x\\<br />y\\<br />z<br />\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />1\\<br />1\\<br />2<br />\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}<br />1\\<br />0\\<br />1<br />\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}<br />0\\<br />1\\<br />1<br />\end{pmatrix}\quad s,t\in\mathbb{R}\]$ y la recta $TEX: \[ L: \begin{pmatrix}<br />x\\<br />y\\<br />z<br />\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />1\\<br />0\\<br />2<br />\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}<br />a\\<br />1\\<br />c<br />\end{pmatrix}\]$ donde a y c son parámetros. Encuentre condiciones sobre los parámetros $TEX: $a$$ y $TEX: $c$$ para que $TEX: $\Pi \cap L \neq \emptyset$$ . ¿Existe algún caso en que $TEX: $\Pi \cap L = L$$ ? Tiempo: 2,5 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 21 2014, 11:19 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2013, 07:28 PM Publicado: #13
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. (Se agradecen aportes.) Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 27 2013, 03:51 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 26 2013, 07:35 PM Publicado: #14
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 13-2 Control 1 Semestre Primavera 2013 P1. a) (4,0 ptos.) Considere el sistema lineal $TEX: \[\begin{pmatrix}<br />3 & 0 & 2\\<br />\frac{1}{2} & b & 1\\<br />a & 2b & 2a<br />\end{pmatrix}<br />\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y\\<br />z<br />\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br />1\\<br />\frac{1}{2}\\<br />b<br />\end{pmatrix}\]$ donde $TEX: $a, b\in\mathbb{R}$$ son parámetros. Determine los valores de $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ tales que el sistema: tenga solución única, tenga infinitas soluciones, no tenga soluciones. b) b1) (1,0 pto.) Sea $TEX: <br />\[A=\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 & 0\\<br />1 & 1 & 0 & 0\\<br />1 & 1 & 1 & 0\\<br />1 & 1 & 1 & 1<br />\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{4\times 4}\]$ Calcule, escalonando, $TEX: $A^{-1}$$ . b2) (1,0 pto.) Sea $TEX: $B$$ la matriz análoga a $TEX: $A$$ pero de tamaño $TEX: $n\times n$$ , es decir $TEX: \[B=\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & \cdots & 0\\<br />1 & \ddots & \ddots & \vdots\\<br />\vdots & \ddots & \ddots & 0\\<br />1 & \cdots & 1 & 1<br />\end{pmatrix}\text{ \ \ o bien } b_{ij}=\begin{cases}<br />1 & \text{si }i\geq j\\<br />0 & \text{si no}<br />\end{cases}\]$ Justifique que $TEX: $B$$ es invertible La generalización natural del caso $TEX: $n=4$$ dada por $TEX: \[c_{ij}=\begin{cases}<br />1 & \text{si } i=j\\<br />-1 & \text{si } i=j+1\\<br />0 & \text{si no}<br />\end{cases}\]$ es la inversa de $TEX: $B$$ . P2. Considere en IR³ los puntos F=(2,2,2), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) y el plano $TEX: $\Pi : x+ y =-2$$ . a) (3,0 ptos) Si en el punto F se ubica un foco que ilumina los puntos A, B, C, se pide determinar las sombras A', B' y C' de tales puntos sobre el plano $TEX: $\Pi$$ . Es decir, determinar la intersección de las rectas que pasan por los puntos F y A, F y B, F y C con el plano $TEX: $\Pi$$ . b) (1,0 pto) Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por A' y B'. c) (2,0 ptos.) Determinar la recta de intersección del plano $TEX: $\Pi$$ con el plano que contiene a los puntos A, B y C. P3. a) (2,0 ptos.) Una matriz $TEX: $M\in\mathcal{M}_{n\times n}$$ se llama idempotente si M²=M. Si $TEX: $C, D\in \mathcal{M}_{n\times n}$$ son tales que C=CD y D=DC, demuestre que C y D son idempotentes. b) (2,0 ptos.) Demuestre que si A, B y (A+B^-1) son matries invertibles, entonces (A^-1+B) también es invertible y su inversa es A(A+B^-1)^-1B^-1. c) (2,0 ptos.) Considere las matrices $TEX: $P,Q\in \mathcal{M}_{n\times n}$$ tales que P²=P y Q=I-P. Demuestre que Q³=Q. Si P es iinvertible, use las condiciones dadas en este punto para probar que P=I y Q=0. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 18 2014, 07:34 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2014, 07:49 PM Publicado: #15
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 14-1 Control 1 Semestre Otoño 2014 P1. Decimos que $TEX: $U\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ es unitaria si U^TU=I. (1,0 pto.) Demuestre que si U es unitaria entonces U es invertible. Demuestre que si U₁ y U₂ son unitarias, entonces su producto U₁U₂ también es unitaria. (2,0 ptos.) Para $TEX: $\theta\in\mathbb{R}$$ considere la matriz $TEX: \[G(\theta)=\begin{pmatrix}<br />\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\<br />\sin(\theta)&\cos(\theta)<br />\end{pmatrix}\]$ Demuestre que, cualquiera sea $TEX: $\theta\in\mathbb{R},\ G(\theta)$$ es unitaria y demuestre que $TEX: $G(\theta)^{-1}=G(-\theta)$$ . (3,0 ptos.) Calcule además $TEX: $G(\theta)^2$$ y luego deduzcauna fórmla para $TEX: $G(\theta)^n,\ \forall n\in\mathbb{Z}$$ (es decir, incluyendo potencias de inversas). P2. Sean $TEX: $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$ y considere el sistema de ecuaciones $TEX: \begin{align}<br />x_1+2x_2+3x_3-x_4&=\beta\\<br />-x_1+x_2+x_4&=\beta^2\\<br />2x_1+x_2+\alpha x_3 -2x_4&=-2\\<br />3x_2+3x_3+(\alpha-3)x_4&=0<br />\end{align}$ (0,5 ptos.) Escriba el sistema de forma matricial Ax=b, señalando las dimensiones de cada matriz. (1,0 pto.) Encuentre condiciones sobre $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ para que el sistema sea compatible (tenga solución). (4,5 ptos.) Para los casos en que el sistema sí tiene solución, encuentre las soluciones en función de $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ , señalando condiciones sobre estos para que el sistema tenga solución única, y para que tenga infinitas soluciones. Justifique claramente cada caso. P3. a) Sean $TEX: $A,B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ dos matrices que conmutan, es decir que AB=BA. Demuestre que (1,0 pto.) $TEX: $\forall n\in\mathbb{N}$$ , AⁿB=BAⁿ. (1,0 pto.) A^TB^T=B^TA^T. (1,0 pto.) Si A, B son invertibles, entonces (AB)^-1=A^-1B^-1. b) (3,0 ptos.) Considere la matriz $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />1&2&3&-1\\<br />-1&1&0&1\\<br />2&1&0&-2\\<br />0&3&3&-3\end{pmatrix}\]$ Calcule mediante el método de Gauss, la inversa de A. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 21 2014, 11:36 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2014, 10:15 AM Publicado: #16
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 14-2 Control 1 Semestre Primavera 2014 P1. Sean $TEX: $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$$ y considere el siguiente sistema de lineal $TEX: \begin{align}<br />x_1+2x_2+3x_3 &=1\\<br />2x_1+3x_2+4x_3 &=\beta\\<br />3x_1+4x_2+\alpha x_3 &=1<br />\end{align}$ a) (4,5 ptos.) Determine los valores de $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ para los cuales el sistema tiene solución única, no tiene solución, tiene infinitas soluciones y en este último caso, determine dichas soluciones. b) (1,5 ptos.) Para $TEX: $\alpha = 4$$ encuentre la inversa de la matriz del sistema. P2. a) Considere el punto Q=(1,1,0) y las rectas $TEX: \[L_1 = (x,y,z) = (2,0,1)+t(3,2,1), \quad t\in\mathbb{R}\]$ y $TEX: \[L_2 = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid \frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}\right\}\]$ (1,5 ptos.) Determine la ecuación cartesiana del plano $TEX: $\Pi$$ que contiene al punto Q y a la recta L₁. (1,0 pto.) Determine el punto $TEX: $P=L_2\cap\Pi$$ . (1,5 ptos.) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto Q e intersecta a las rectas L₁ y L₂. Justifique. b) (1,0 pto.) Sea V el conjunto de matrices de 3x3 con coeficientes reales definido por $TEX: \[V=\left\{A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\mid A=\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix}, a,b\in\mathbb{R}\right\}\]$ Pruebe que V es subespacio vectorial de $TEX: $\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ . (1,0 pto.) Sea $TEX: $W=\{q(x)\in\mathcal{P}_4[x]\mid q(x)=a_0+a_1 x+a_0x^2+a_1x^3+a_0x^4, a_0,a_1\in\mathbb{R}\}$$ . Pruebe que W es subespacio vectorial de $TEX: $\mathcal{P}_4[x]$$ (Polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a cuatro). P3. a) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ , tal que B es invertible y B⁵-B=0. Calcule B^-1. b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: \[A=(1)_{n\times n}=\begin{pmatrix}1 & \dots & 1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \dots & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}),n>1\]$ Encuentre $TEX: $k\in\mathbb{R}$$ tal que (I-A)^-1=I+kA. c) (2,0 ptos.) Sean $TEX: $A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ , tales que A y B son simétricas y A es invertible. Demuestre que C^t(A^-1+B)C es simétrica. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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