Nivel 2, Individual Opciones

[juancodmw]

X Campeonato Escolar de Matemáticas
Segundo Nivel

Segunda prueba: Sábado 26 de Mayo, 2012

Problema 1: Un año es bisiesto si es divisible por 4 pero no por 100, o bien, si es divisible por 400. Por ejemplo, los años 1984 y 2000 fueron bisiestos, pero el año 1900 no lo fue.
Sabiendo que hoy es Sábado 26 de mayo de 2012, determine (sin la ayuda de calendarios u objetos similares) que día de la semana fue el 21 de mayo de 1879.

Problema 2: Encuentre todos los números naturales , tales que:

[simio]

p2

es casi obvio de (x,y)=(1,5) es solución única, justificación? si x>1 x al cubo es mayor o igual 8 luego xy no es natural

[Cenizas con Most...]

p2

es casi obvio de (x,y)=(1,5) es solución única, justificación? si x>1 x al cubo es mayor o igual 8 luego xy no es natural

Intenta la generalización a soluciones enteras. El argumento cambia pero es bastante fácil igual.

[ErtkleyKnox]

Intenta la generalización a soluciones enteras. El argumento cambia pero es bastante fácil igual.

Espero estar bien:

La ecuación es equivalente a: , factorizando el lado izquierdo por x tenemos lo siguiente: , esto implica que al ser entero, x es uno de los 4 divisores de 7, es decir, para x tenemos 4 posibilidades: {-7,-1,1,7}.

Caso 1 (x=-7)
Reemplazando en la ecuación llegamos a que y=-99 y obtenemos el par (-7,-99)

Caso 2 (x=-1)
Reemplazando se llega a que y=-9 y se obtiene el par (-1,-9)

Caso 3 (x=1)
Reemplazando tenemos que y=5 y obtenemos el par (1,5)

Caso 4 (x=7)
Reemplazando se obtiene y=-97 y obtenemos (7,-97)

Finalmente los pares enteros son: (x,y)={(-7,-99); (-1,-9); (1,5); (7,-97)}

Dejo dos acotaciones, que si bien tal vez son obvias considero que debo escribirlas xD :

1 - Es claro que tanto x, como y son distintos de cero, basta ver lo que pasa con la ecuación original al reemplazar una o ambas incógnitas por cero.

2 - En este punto , ¿Qué pasaría si ?, pues entonces se tendrían infinitos pares, pero dado que tanto x, como y son enteros, esto implica que también es entero, y se sigue que .