 I2 Álgebra Abstracta I |
|
|
|
|
|
|
Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad Católica > Álgebra Abstracta  |
 Oct 24 2015, 03:02 PM
Publicado:
#1
|
|
 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
 PD: en el enunciado original de la P2a) faltaba la hipótesis $\tau(i)\not=i$ así que lo que pedían no era cierto, pero con esta condición sale... anduvo guatiando el profe :c |
 |
 
|
|
Oct 24 2015, 04:17 PM
Publicado:
#2
|
|
|
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Me pongo con la 1 que fue la que más me gustó, aunque en el momento de la prueba no supe usar que G es no abeliano xD
![TEX: <br />Consideremos la proyecci\'on can\'onica $\pi:S_n\to S_n/A_n$, donde $\ker \pi=A_n$, y sea $\phi$ la restricci\'on de $\pi$ a $G$. Puesto que $|S_n/A_n|=2$ y $\phi(G)$ es subgrupo de $S_n/A_n$ se tienen dos opciones: <br />\begin{itemize}<br />\item $|\phi(G)|=1$, en cuyo caso $\phi(G)$ es el neutro de $S_n/A_n$ y as\'i $G\subset A_n$.<br />\item $|\phi(G)|=2$.<br />\end{itemize}<br />Para el segundo caso notemos que $G$ es simple y $\ker\phi <G$, lo cual necesariamente dice que $\ker\phi=\langle e_G\rangle$, porque de otro modo se tendr\'ia $\ker\phi=G$ y entonces $|\phi(G)|=1\not=2$ . Adem\'as, del primer teorema de isomorfismo se desprende que $2=|G/\ker\phi|=[G:\ker\phi]=\dfrac{|G|}{|\ker\phi|}$, por lo tanto <br />$$\ker\phi=\langle e_G\rangle\Rightarrow G=\langle e_G,\sigma\rangle.$$<br />La \'unica forma en que puede tenerse $G=\langle e_G,\sigma\rangle $ es que $\sigma^2=e_G$, lo que significa que $G$ es abeliano: contradicci\'on con el enunciado.<br />](/tex-image/3e7958b474997f2f4cde9a697ced91da.png) Salu2 |
|
|
|
|
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):
| Versión Lo-Fi | Fecha y Hora actual: 30th April 2025 - 09:57 AM |
