 Propuesto: Contando polinomios sobre cuerpos finitos |
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 Dec 21 2016, 01:38 PM
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 Principiante Matemático Destacado  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 24-November 15 Desde: Santiago de Shicle Miembro Nº: 142.436 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: <br />N\'umero de polinomios iireducibles de grado $d$ en $\mathcal{F}_q[x]$:<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Obtener una forma compacta para el n\'umero de elementos en $\mathcal{F}_{q^n}$ que no pertenecen a ning\'un subcuerpo $\mathcal{F}_{q^k}$ ($k<n$).<br /><br />\item Demostrar que los elementos en $\mathcal{F}_{q^n}$ que no pertenecen a ning\'un subcuerpo $\mathcal{F}_{q^k}$ $(k<n)$ son exactamente las ra\'ices del polinomio: $$ t_n(x)=\dfrac{x^{q^n}-x}{mcm\{x^{q^k}-x\}_{k|n,\,k<n}}=\dfrac{x^{q^n}-x}{\prod_{k|n,\,k<n}\, \, t_k(x)} $$<br />$mcm:$ m\'in. com\'un mult.<br /><br />\item Demostrar que $t_n(x)$ es el producto de todos los irreducibles de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x].$<br /><br />\item Obtener el n\'umero de polinomios irreducibles de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x]$.<br /><br />\item Encuentre una proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x]$ (con $q$ grande) que sean ireducibles.<br /><br />\item Encuentre una proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x]$ (con $q$ grande) que se descomponen completamente sobre $\mathcal{F}_q$<br /><br />\item Encuentre una aproximaci\'on general para la proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x]$ (con $q$ grande) cuyos factores tienen grados $\{n_1,n_2,...,n_k\}.$<br /><br />\item Estime la proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathcal{F}_q[x]$ que no son separables.<br />\end{enumerate}<br /><br />](/tex-image/7369215184f712c1fc58b85f85ea73f0.png)
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