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Uno de logaritmos

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2017, 04:47 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Si $U: = \mathbb{C} \setminus (-\infty,0]$ y $\log \colon U \to \mathbb{C}$ es la rama principal del logaritmo, determine el máximo dominio $D \subseteq U$ tal que para cada $a , b\in D$ se cumple la igualdad $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

lang Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2017, 11:22 AM Publicado: #2
Matemático Grupo: Validating Mensajes: 62 Registrado: 23-November 14 Miembro Nº: 134.118	la rama principal del logaritmo esta dada por $TEX: $$\log(z) = \log(\|z\|) + i \arg(z)$$$ donde $TEX: $\arg$$ es el argumento tomado en $TEX: $(-\pi,\pi)$$ . La identidad buscada queda como $TEX: $$\log(\|ab\|) + i \arg(ab) = \log(\|a\|) + \log(\|b\|) + i (\arg(a) + \arg(b))$$.$ La parte real siempre es igual por la conocida propiedad del logaritmo para argumentos reales. El problema se reduce a encontrar $TEX: $D$$ tal que para $TEX: $a,b\in D$$ , $TEX: $$ \arg(ab) = \arg(a) + \arg(b) $$.$ Esta identidad se cumple siempre modulo $TEX: $2\pi$$ $TEX: $$ \arg(ab) = \arg(a) + \arg(b) \pmod{2\pi} $$.$ por lo tanto es equivalente a $TEX: $$ \arg(a) + \arg(b) \in (-\pi,\pi) $$$ evidentemente esto se cumple si $TEX: $\arg(a), \arg(b) \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$ por lo tanto $TEX: $$D \subseteq \mathbb C_+$$$ los complejos con parte real positiva. por otro lado, si $TEX: $a\in D$$ , entonces $TEX: $$ \arg(a) + \arg(a) = 2\arg(a) \in (-\pi,\pi)$$$ lo que implica $TEX: $$\arg(a) \in (-\pi,\pi)$$$ de donde finalmente obtenemos $TEX: $$D = \mathbb C_+$$$ Mensaje modificado por lang el Jun 23 2017, 03:54 PM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2017, 03:29 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Aunque la conclusión está bien, hay algunos errores en la solución: CITA(lang @ Jun 17 2017, 09:22 AM) ... por lo tanto es equivalente a $TEX: $$ \arg(a) + \arg(b) \in (-\pi,\pi),$$$ evidentemente esto se cumple si $TEX: $\arg(a), \arg(b) \in (-\pi,\pi)$$ Saludos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

lang Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2017, 03:55 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Validating Mensajes: 62 Registrado: 23-November 14 Miembro Nº: 134.118	CITA(coquitao @ Jun 22 2017, 03:29 PM) Aunque la conclusión está bien, hay algunos errores en la solución: Saludos. Ups, un pequeño error. Ya esta corregido gran señor.

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