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Polinomios

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 13 2021, 11:35 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios en $\mathbb{R}$. Probar que si este espacio se dota de una norma $\\|\cdot \\|$ este \textbf{no} resulta un espacio de Banach.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2021, 05:10 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Usaré la siguiente versión del Teorema de Categorización de Baire: Si $TEX: $M$$ es un espacio métrico completo, entonces $TEX: $M$$ no se puede escribir como la unión numerable de conjuntos cerrados de interior vacío. Supongamos por contradicción que existe una norma $TEX: $\|\|\cdot\|\|$$ tal que $TEX: $P(\mathbb{R})$$ es de Banach. Definamos $TEX: $P_{n}=\text{span}\{1,x,x^{2}\ldots,x^{n}\}$$ . Notamos que $TEX: $P_{n}$$ son subespacios de dimensión finita de $TEX: $P(\mathbb{R})$$ . Como son de dimensión finita, son completos y por lo tanto, cerrados. Además, $TEX: $P(\mathbb{R})=\cup_{n} P_{n}$$ . Así, si probamos que $TEX: $P_{n}$$ tiene interior vacío, tendríamos una contradicción en virtud del teorema anterior. Para probar que efectivamente tienen interior vacío, supongamos lo contrario:sea $TEX: $B(p,r)$$ una bola abierta de centro el polinomio $TEX: $p$$ y radio $TEX: $r$$ , contenida en $TEX: $P_{n}$$ . Sea $TEX: $q \in P(\mathbb{R})\setminus \{0\}$$ . Entonces $TEX: $p+\frac{r}{2\|\|q\|\|}q \in B(p,r)\subset P_{n}$$ . Finalmente, como $TEX: $P_{n}$$ es subespacio, $TEX: $q=\frac{2\|\|q\|\|}{r}([p+\frac{r}{2\|\|q\|\|}q]-p) \in P_{n}$$ . Esto dice que $TEX: $P(\mathbb{R}) \subset P_{n}$$ , lo cual es absurdo. Por lo tanto, $TEX: $P_{n}$$ tienen interior vacío. Por lo dicho anteriormente, esto implica el resultado buscado. --------------------

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